Fig. 32. 



306 GALILEO FERRARIS 



Questo valore è indipendente dalla distanza dell'elemento superficiale PQ dal punto 

 m, e dall'area di esso, dipende soltanto dall'angolo solido d\u. Se, oltre all'elemento 

 PQ, il medesimo cono di angolo solido d\u taglia sulla medesima superficie SS, o su 

 altre superficie, altri elementi superficiali, i flussi attraverso a tali elementi, se presi 

 nella medesima direzione, sono tutti uguali. 



Ora consideriamo una superficie chiusa S (fig. 32), e supponiamo che il punto 

 m sia fuori di essa. Un cono infinitesimo mPQ di vertice m, se taglia la superficie 



S^. -^ S, la taglia un numero -pari di volte 



(nel caso più semplice, rappresentato 

 in figura, la taglia due volte); ed at- 

 traverso alle successive sezioni PQ, 



PQ' ecc esso alternativamente 



entra nell'interno della superficie ed 

 esce dalla medesima. I flussi del vet- 

 tore A' attraverso alle successive se- 

 zioni PQ, P'Q' ecc. ... sono, rispetto alla superfìcie S, alternativamente entranti ed 

 uscenti ; essi sono tutti uguali tra di loro quando si assume per tutti una medesima 

 direzione positiva, ma se si prende come positiva la direzione uscente e come nega- 

 tiva la entrante in S, essi sono alternativamente negativi e positivi; sicché se si 

 sommano essi danno una somma uguale a zero. La stessa cosa si deve dire per tutti 

 j coni infinitamente sottili che si possono immaginare col vertice in m; e quindi si 

 deve conchiudere che il flusso uscente dalla superficie chiusa S, rispetto alla quale il 

 punto m è esterno, è uguale a zero. 



Supponiamo invece che il punto m sia noli' interno della superficie S, che sia 

 per esempio in m y . In questo caso un cono infinitamente sottile di vertice m x o 

 taglia la superficie S una sola volta, come nel caso semplice rappresentato in figura, 

 o la taglia un numero impari di volte; il cono esce dalla superficie una volta di più 

 che non entri; quindi nella somma de' flussi corrispondenti al cono medesimo rimane 

 non eliso un flusso uscente. Se facciamo questa osservazione per tutti gli infiniti 

 coni elementari che si possono immaginare col vertice in m,i, e se sommiamo i flussi 

 uscenti che ad essi corrispondono troviamo m j d uu. Ora la somma j d in degli angoli 

 solidi di tutti i coni che hanno il vertice in un medesimo punto mi è uguale alla 

 intiera superficie della sfera di raggio uno sulla quale essi vengono misurati; dunque 

 il totale flusso uscente dalla superficie chiusa S, nell'interno della quale giace il 

 punto mi, è uguale a 4 tt m. 



Si abbia ora non più un solo punto m od m x , ma un numero qualunque di punti 

 comunque distribuiti nello spazio. Di tali punti quelli che stanno all'esterno della 

 superficie chiusa S non portano alcun contributo al flusso uscente dalla superficie 

 medesima; quelli invece, che stanno all'interno, apportano alla somma che rappre- 

 senta tale flusso altrettanti termini, uno qualunque dei quali è espresso da 4 n m. 

 Il flusso risultante vale adunque 4 tt Z m.' 



Se introduciamo altri simboli, cioè poniamo (indicando con v un elemento di volume 

 racchiudente il punto m): 



m — pv e 4 irp = ò, 



