TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 



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Dopo queste osservazioni, ed appunto in grazia di esse, noi possiamo adoperare, 

 senza inconvenienti, le locuzioni sovra esposte, massa e densità, delle quali si suole 

 fare un uso continuo nella trattazione delle forze newtoniane. Possiamo anche esten- 

 dere l'uso di quelle locuzioni ai casi nei quali il vettore a distribuzione newtoniana 

 no n è una forza, possiamo adoperarle anche quando il vettore non ha nessuna inter- 

 pretazione fisica e viene trattato come un semplice ente geometrico. Ma coll'atto 

 stesso di estenderne l'uso anche ai casi di pure considerazioni geometriche noi ve- 

 niamo implicitamente a privare le sovra dette locuzioni, nel modo più assoluto, di 

 qualunque interpretazione fisica; esse rimangono per noi semplici vocaboli utili per 

 facilitare l'enunciazione a parole di relazioni matematiche importanti e frequenti. 



§ 6. 



Casi di discontinuità. Strati. 



42. — In tutta la precedente trattazione abbiamo sempre supposto che il vettore 

 fosse distribuito con continuità. Nel caso che qualche discontinuità si presentasse, 

 noi abbiamo una volta per sempre [13] convenuto di escluderla dal campo tagliando 

 via da questo, per mezzo di opportune superficie, le regioni ove essa si presenta, 

 oppure sostituendo col pensiero alla discontinuità una variazione rapidissima sì, ma 

 continua. Ora, quando si tratta di distribuzioni non circuitali, la considerazione dei 

 vettori newtoniani e l'impiego del concetto di massa conducono ad un modo di pre- 

 sentare e di trattare i casi di discontinuità, il quale, nello stato attuale della scienza, 

 ha una importanza speciale e notevole nella tratta- 

 zione dei fenomeni elettrici e magnetici. 



Si abbia una superfìcie DD di discontinuità (fig. 33), 

 si supponga cioè che tra due punti infinitamente vicini 

 P e Q uno sull' una e l'altro sull' altra faccia della 

 superficie il vettore presenti una differenza finita, che 

 per esempio esso sia A, rappresentato da PA, in P, 

 e B, rappresentato da QB, in Q. I vettori A e B si 

 possono scomporre in due, uno tangenziale, e l'altro 

 normale alla superficie DD. Sieno, per esempio, PA', 

 QB' e si rappresentino con A', B', le componenti 

 tangenziali, e sieno A' A, B' B e si rappresentino con 

 A", B" le componenti normali. 



Dobbiamo cominciare ad osservare che se, come abbiamo supposto, la distri- 

 buzione non è circuitale, le componenti tangenziali A', B' non possono presentare 

 tra loro alcuna differenza finita; se la presentassero si avrebbe sulla superficie DD 

 rot A diverso da zero. Infatti in un piano qualunque normale alla superficie DD 



Fig. 33. 



