310 



GALILEO FERRARIS 



immaginiamo (fig. 34) un rettangolo pp qq infinitesimo coi lati pp, qq passanti pei 

 punti P e Q e coi lati pq, pq infinitamente piccoli a fronte di pp, qq. Diciamo s la 

 lunghezza dei lati pp, qq e rappresentiamo con a e con b le proiezioni di A, _B, 

 cioè di A', S' , sui lati pp,qq. La circuitazione attorno al rettangolo, a 

 meno della parte infinitamente piccola d'ordine superiore dovuta ai lati pq, pq, 

 è uguale a s (a — b). Acciocché la rotazione sia zero, bisogna che tale cir- 

 cuitazione sia nulla qualunque sia il piano normale a DD che si è scelto 

 per tracciarvi sopra il rettangolo. Dunque per tutti i piani normali alla 

 superficie DD dev'essere a = b; e ciò vuol dire che dev'essere A' = B' . 

 Per conseguenza possiamo dire che la componente tangenziale non soffre 

 alcuna discontinuità; la discontinuità esiste solo per la componente normale. 

 Giova notare subito, incidentalmente, un importante corollario di 

 questa proposizione. Si supponga JB = ; allora è JB' = 0, e quindi , in 

 grazia della proposizione ora dimostrata, è anche A' =0. Dunque A è 

 allora normale alla superficie DD. Se una superficie separa un campo a 

 distribuzione non circuitale da una regione ove il vettore è nullo, il vettore nei 

 punti del campo infinitamente vicini a tale superficie è normale alla superficie mede- 

 sima. In altri termini: in tutti i punti di una superficie separante una regione ove 

 esiste un vettore con distribuzione non circuitale da una regione ove questo non 

 esiste il vettore è normale alla superficie. La superficie è di livello e quindi [35] 

 equipotenziale. Questa osservazione troverà applicazioni nello studio de' fenomeni 

 elettrostatici. 



Fig. 34. 



Fig. 35. 



N 



43. — Dopo la fatta osservazione, possiamo limitarci a considerare la componente 



del vettore normale alla superficie di discontinuità. Ciò è quanto dire che possiamo 



limitarci a considerare il caso, nel quale il vettore è normale alla superficie di dis- 



D continuità; tutti gli altri casi si dedurranno da questo 



\ componendo semplicemente col vettore considerato un altro 



vettore il quale nei punti della superficie è tangente a 

 questa e non presenta alcuna discontinuità. 



Ciò posto, sia DD (fig. 35) una superficie di disconti- 

 nuità normale in ogni punto al vettore e sieno P e Q due 

 punti infinitamente vicini situati su di una medesima nor- 

 male QPN, uno da una parte della superficie e l'altro dal- 

 l'altra. Si scelga sulla normale una direzione QPN posi- 

 tiva, e si rappresentino con A y e con A 2 i tensori del 

 vettore in P ed in Q intesi come positivi quando hanno la 

 direzione PN e come negativi quando hanno la direzione 

 opposta. 



Prendiamo sulla superficie DD un elemento MM di 

 area dS, e su questo, preso come sezione retta, costruiamo 

 un prisma infinitamente piccolo, del quale le basi pp e qq contengano i punti P e Q. 

 Dalla faccia pp del prismetto esce un flusso A x d S, mentre per la faccia qq entra 

 un flusso A^dS: quindi si ha un flusso uscente dal prismetto uguale complessiva- 

 mente a (Ai — A % ) dS. Ora possiamo far uso anche in questo caso del concetto di 



