TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 



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Fig. 37. 



essa dice: due elementi superficiali corrispondenti contengono masse uguali e di segni 

 contrarli. 



Sia ora (fig. 37) MMM'M' un tubo di flusso di dimensioni finite qualunque, il 

 quale parta da una porzione MM della superficie S e termini su di una porzione M' M' 

 della superficie S'; le due por- 

 zioni di superficie MM ed M'M' 

 si dicono superficie corrispondenti. 

 Scomponendo il tubo MMM'M' 

 in tubi elementari infinitamente 

 sottili, si possono scomporre le 

 superficie MM ed M'M' in ele- 

 menti in modo che a ciascun ele- 

 mento di MM sia corrispondente 

 un elemento di M' M. Ed appli- 

 cando allora a tutte le coppie 

 di elementi corrispondenti la pro- 

 posizione ora dimostrata si trova 



che a ciascuna massa contenuta su MM corrisponde una massa uguale e di segno con- 

 trario su M' M'. Dunque le due superficie corrispondenti contengono masse uguali 

 e di segni contrari. 



Ciò si può dimostrare direttamente e semplicissimamente così. Immaginiamo 

 due superficie T, T', quali si vogliano, situate negli spazi Q e Q' ove il vettore è 

 nullo ed aventi per contorni i contorni delle superficie corrispondenti MM, M'M'; 

 formiamo per tal modo, con queste superficie T, T' e colla superficie laterale del 

 tubo, una superficie chiusa TMM'T'MM. Il flusso uscente da questa superficie chiusa 

 è nullo, perchè il vettore è nullo nei punti delle superficie T, T' ed è tangente nei 

 punti della superficie laterale del tubo. Ora, per la definizione data all'art. 40, il 

 flusso uscente da una superficie chiusa, diviso per 4tt, dà la massa esistente nel- 

 l'interno della superficie stessa; dunque la massa contenuta nell'interno della super- 

 ficie chiusa ora considerata è uguale a zero. Ma, poiché la distribuzione nello spazio 

 tra S ed S' è solenoidale e perciò non v'hanno masse in tale spazio, la massa con- 

 tenuta entro la superficie chiusa si riduce alla somma 

 di quelle esistenti sulle superficie di discontinuità 

 MM, M'M' ; se noi rappresentiamo tali masse con 

 tri, ni', abbiamo adunque m -f- m' = 0, che è ciò che 

 si voleva dimostrare. 



Un caso particolare degno di nota è quello nel 

 quale la superficie S' circonda completamente la su- 

 perficie S (fig. 38). In questo caso tutti i tubi di 

 flusso esistenti nello spazio tra le due superficie par- 

 tono dalla superficie S e terminano sulla S'. Quindi 

 a tutte le masse contenute su S corrispondono masse 

 uguali e di segni contrari sulla S', e per conseguenza 



le masse totali contenute sulle due superficie sono uguali e di segni contrariala 

 loro somma algebrica è uguale a zero. 



Serie II. Tom. XLVII. o 1 



Fig. 38. 



