314 



GALILEO FERRARIS 







M 1 



M 



45. — 2° Caso. Si supponga A s = — A L . Allora la (58) dà 



(60) Ai = 2 TTff. 



Questo caso si presenta quando dello strato si considera una porzione piana, di den- 

 sità uniforme, oppure una porzione che come tale si possa trattare perchè infinita- 

 mente piccola, e si calcola la parte spettante a tale 

 porzione nella somma (52). 



In questo caso la (60) si può ricavare diretta- 

 mente dalla (52). Si consideri infatti (fig. 39) un 

 punto P, la cui distanza PO dal piano DD sia in- 

 finitamente piccola a fronte della distanza da un 

 punto qualunque del contorno della porzione di strato 

 considerata. Per semplice ragione di simmetria risulta 

 chiaro che il vettore A espresso nella (52) dev'es- 

 sere normale al piano DD e che la sua direzione si 

 deve capovolgere quando il punto P passa da una 

 faccia all' altra dello strato. Il suo tensore poi si 

 ottiene sommando le componenti normali a DD dei 



termini r -j della somma vettoriale (52). Ora uno di 



questi termini, quello corrispondente all'elemento MM', 

 adS 



Fig. 39. 



di area dS, e r —*-, e la sua componente normale è 



(«) 



rn 



adS 



ove si rappresenti con n un vettore unità perpendicolare al piano DD. Ma m è il 

 coseno dell'angolo OPM [7], e quindi mdS è l'area della proiezione MH di dS su 

 di una superficie sferica di centro P e di raggio r, o, ciò che vai lo stesso, l'area 

 della sezione fatta su tale superficie sferica dal cono PMM' di vertice P, circoscritto 

 all'elemento dS. Se si dice dw l'angolo solido [39] di questo cono, si ha adunque 

 rndS = r*dvj, e quindi il termine (a) di A dovuto a dS si riduce a Gdui. Se si dice uj 

 l'angolo solido del cono di vertice P avente per direttrice il contorno della porzione 

 di strato considerata, si ha: 



(b) 



A = cr ui. 



Se poi, come abbiamo supposto, P è infinitamente vicino al piano DD, è tu 

 quindi si ritrova il valore (60). 



2tt; 



46. Doppio strato. — Un caso importante, che ci conviene ancora considerare, 

 è quello di un doppio strato. 



Immaginiamoci data una superficie S (fig. 40). Da ciascun punto M di questa 

 eleviamo la normale e portiamo su di essa, in una direzione MN scelta come posi- 

 tiva, una lunghezza infinitamente piccola MM' = n, costante oppure variabile con 

 una legge qualunque, ma senza discontinuità. Otteniamo così per ciascun punto M 



