TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 



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positivo o negativo rn. E siccome m è il coseno dell'angolo compreso tra la nor- 

 male positiva n e la retta rr condotta dall'elemento dS al punto P[7], così din vuol 

 essere preso come positivo o come negativo secondo che l'elemento di superficie dS 

 visto dal punto P appartiene alla faccia positiva oppure appartiene alla faccia ne- 

 gativa della lamina. Per conseguenza nel calcolare l'angolo solido uj, che figura 

 nella (63) bisogna distinguere le parti della lamina delle quali da P si vede la faccia 

 positiva da quelle delle quali da P si vede la faccia negativa, computare le gran- 

 dezze apparenti delle prime come positive e quelle delle altre come negative, e fare 

 la somma algebrica. Così, per esempio, nel caso 

 della fig. 42 si deve prendere come positivo tutto 

 l'angolo solido del cono PAB tangente alla lamina, 

 dentro al quale si vede da P la parte AEB della 

 faccia positiva; da esso poi si deve sottrarre l'an- 

 golo solido corrispondente allo spazio compreso fra 

 i due coni PAB e PCD, perchè in questo spazio 

 si vede da P la porzione anulare AC, BD della 

 faccia negativa. Ciò che rimane è l'angolo solido 

 del cono PCD che ha per direttrice il contorno CFD 

 della lamina. Questo esempio mette in chiaro una 

 regola semplicissima per trovare in ogni caso, 



senza bisogno di sottrazioni, il valore ed il segno di uj: l'angolo solido uj, del quale si 

 ha da far uso nella formola (63), è quello del cono di vertice P, che ha per diret- 

 trice il contorno della lamina. Il segno di uj è quello della faccia che si vede dentro 

 a questo cono. 



Fig. 42. 



47. — Su di una normale ad una lamina AB (fig. 43) di potenza i conside- 

 riamo due punti P, e P 2 infinitamente vicini , l'uno , P, , dalla parte della faccia 

 positiva e l'altro, P 2 , dalla parte della faccia negativa. Se 

 diciamo uu t ed uj 2 gli angoli solidi coi quali la lamina è 

 veduta dai due punti, e Vi, V» i corrispondenti poten- 

 ziali, abbiamo: 



Vi = i uj. 



V, 



zw. 



e quindi 



Vi — V 2 = i (uj, — ujj,). 



Ora se, come si è supposto, Pi e P 2 sono infinitamente 

 vicini, e se si ricorda quanto teste è stato detto relativa- 

 mente al segno degli angoli solidi, si ha: 



uj» = — (4tt — uj,). 



Dunque 

 (64) 



Vi- V, 



4 TT i. 



Fig. 43. 



Questa differenza di potenziale si ha quando si passa da una faccia all'altra 

 della lamina, qualunque, del resto, sia la via che si percorre; essa ha sempre il 



