TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 



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potenza e la linea di contorno della lamina. Noi possiamo, in modo molto semplice, 

 arrivare ad esprimere A con una somma vettoriale, della quale i singoli termini 

 corrispondono uno ad uno ai singoli elementi del contorno, in modo che ciascuno 

 di essi rappresenta il contributo di uno di questi elementi. Per arrivare a ciò noi 

 ragioniamo nel modo seguente. 



Per trovare la componente A s del vettore A in una data direzione s, dobbiamo [34] 

 ricorrere alla relazione (38) ; ossia dobbiamo immaginare di spostare il punto P in 

 tale direzione per un tratto infinitamente piccolo ds, vedere quale sia la diminuzione 

 di V dovuta a tale spostamento, e dividere questa diminuzione per ds. Ma siccome 

 lo spostamento di P, di cui qui si tratta, è lo spostamento relativo alla lamina, così 

 possiamo anche modificare il procedimento in questo modo : immaginare che il punto P 

 rimanga immobile e che vengano invece spostati tutti i punti della lamina per un 

 tratto uguale a ds nella direzione opposta, ossia per un tratto — ds nella direzione s. 

 Nel caso nostro V è uguale a iw ; dobbiamo adunque trovare la diminuzione della 

 superficie apparente tu, dovuta allo spostamento — ds della lamina , dividere tale 

 diminuzione per ds e moltiplicarla per i. Ora (fig. 44) la superficie apparente uu della 



Fio-. 44. 



lamina SS è l'area della sezione ss fatta nel cono PSS dalla superficie sferica C di 

 centro P e di raggio uno ; e la variazione che questa superficie subisce in causa 

 dello spostamento di SS è uguale alla somma algebrica delle superficie generate 

 sulla sfera C da tutti gli elementi del contorno ss. A ciascuno di questi elementi 

 corrisponde una parte della variazione di w, e a ciascuna di queste corrisponde una 

 parte di A. Dunque il vettore A si può considerare come una somma di tanti ter- 

 mini quanti sono gli elementi MQ del contorno, corrispondenti ciascuno ad uno di 

 questi elementi. Tali termini saranno altrettanti vettori infinitamente piccoli, e noi 

 rappresenteremo uno qualunque di questi con A'. 



Noi dobbiamo vedere come si trovi uno qualunque dei vettori elementari A'; ed 

 a quest'uopo dobbiamo prendere a considerare uno qualunque degli elementi del con- 

 torno SS e vedere quale sia la superficie generata sulla sfera dal corrispondente 

 elemento del contorno ss. 



Sia MQ l'elemento scelto. Esso corrisponde ad un elemento mq del contorno ss 

 e questo è l'intersezione della superficie sferica C coll'elemento PMQ della superfìcie 



