TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 323 



§ 7. 



Distribuzioni circuitali. 



49. — L'espressione (52), trovata all'art. 38 e discussa ne' due ultimi paragrafi 

 non è che una soluzione particolare delle equazioni differenziali (46). Come notammo 

 alla fine del detto articolo, altre soluzioni delle equazioni (46) si hanno aggiungendo 

 semplicemente al vettore espresso colla (52) un altro vettore qualunque a distribu- 

 zione solenoidale e non circuitale. E se trattiamo questo vettore aggiunto come 

 arbitrario, otteniamo senz'altro la soluzione generale delle equazioni (46), che com- 

 prende tutti i casi di distribuzioni non circuitali. 



Ora dobbiamo ritornare alle equazioni più generali (45) [art. 37] e considerare 

 i casi che finora abbiamo escluso, i casi nei quali la rotazione C non è nulla in 

 tutto il campo, i casi di distribuzioni circuitali. 



In grazia della osservazione fatta nell'art. 37, noi potremo, nel fare ciò, sup- 

 porre che sia div A = in tutto il campo, e limitarci così a considerare i vettori 

 che sodisfanno alle equazioni 



(70) div A = 0, rot A = C, 



ove C ha in ogni punto del campo un valore dato. Nel caso più generale delle 

 equazioni (45), ove tanto div A quanto rot A sono diversi da zero, il vettore A 

 sarà sempre la somma di uno di quelli che sodisfanno alle equazioni (70), che ora 

 ci accingiamo a trattare, con uno di quelli che sodisfanno alle equazioni (46) già 

 trattate. 



Per trovare poi il vettore A che sodisfa alle equazioni (70) ci basta saper risol- 

 vere quest'altro problema : trovare un vettore A' tale che rot A' abbia un valore 

 dato dentro ad una data parte del campo e sia uguale a zero in tutto il rimanente 

 spazio. Se infatti si divide il campo in tante parti, in ciascuna delle quali la rota- 

 zione abbia un valore C, se si trova per ciascuna un vettore A' tale che sia 

 rot A' = C dentro di essa e rot A' = fuori di essa, e se, finalmente, si fa la somma 

 A = TA' di tutti i vettori A' così trovati, questa somma sodisfa alle equazioni (70). 

 Il procedimento è analogo a quello che abbiamo adoperato nel § 5° per le distribu- 

 zioni non circuitali. 



Ora si è dimostrato [28] che la rotazione C ha sempre una distribuzione sole- 

 noidale; e da ciò si è dedotto che i tubi di flusso di questo vettore C, che abbiamo 

 anche denominato tubi vorticali, e quando sono infinitamente sottili filetti vorticali, o 

 hanno i capi sulle superficie limitanti il campo, o sono chiusi su se stessi in forma 

 di anelli. Lungo ciascuno di questi tubi, o filetti, il flusso di C è costante. Quindi 

 fra le varie maniere di dividere il campo in parti od in elementi, per applicare il 

 sovraesposto procedimento, si presenta da sé naturalmente, come la più acconcia, la 

 divisione in tubi od in filetti vorticali. Se adottiamo questo modo di divisione, il 



