TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 325 



dente intieramente il vano dell'anello da questo formato ; una superficie, cioè, la 

 quale, tagliando la regione ciclica esterna all'anello, la renda aciclica. Sulla linea 

 PìQPìPì consideriamo due punti P L e P 2 infinitamente vicini l'uno all'una e l'altro 

 all'altra faccia di tale superficie. Se, come riteniamo, tra P 2 e P v il campo non pre- 

 senta alcuna discontinuità, l'integrale di A' lungo la linea aperta PiQP 2 differisce 

 infinitamente poco da quello preso sulla intiera linea chiusa P^QP^, e per conse- 

 guenza, a meno di un infinitesimo, esso è uguale ad U. 



Ora immaginiamo, disposto sulla superficie considerata, un doppio strato uni- 

 forme di potenza i colla faccia positiva verso P l e colla negativa verso P 2 . Tra le 

 due f accie di esso abbiamo per la (64) una differenza di potenziale 4n», e ciò vuol 

 dire che l'integrale del vettore sulla linea aperta P^QP 2 ha il valore ini. Dentro 

 alla lamina, tra i due strati, da P 2 a Pi , il vettore ha un valore infinitamente grande 

 ed è diretto da Pj verso P 2 [46], così che se l'integrale sovra detto si estendesse 

 oltre a P 2 , fino a P u su tutta la linea chiusa, al valore di esso si aggiungerebbe 

 un termine finito negativo, uguale a — ini, che lo ridurrebbe a zero. Ma immagi- 

 niamoci un campo il quale in tutto lo spazio esterno alla lamina sia identico a quello 

 dovuto alla lamina medesima, ma che non presenti sulle faccie di questa le discon- 

 tinuità [46] presentate da quest'ultimo, così che anche nell'interno della lamina, tra 

 i due strati, il vettore abbia un valore finito. In un tale campo l'integrale sulla linea 

 chiusa P l QP 2 P l , a meno di un termine infinitamente piccolo corrispondente all'ele- 

 mento P 2 Pi , è uguale a quello fatto sulla linea aperta P y QP 2 , uguale a 4 ni. In tale 

 campo adunque si ha una distribuzione circuitale, per la quale il tubo infinitamente 

 sottile SS è un filetto vorticale. E se alla potenza i della lamina attribuiamo un 

 valore tale che sia 



(71) 4kifi = U, 



la circuitazione su di una linea chiusa qualunque P t ()P 2 Pi concatenata col filetto 

 risulta uguale a quella data, U. Su di una linea non concatenata col filetto la cir- 

 cuitazione è uguale a zero. La distribuzione immaginata sodisfa adunque alle condi- 

 zioni imposte: il vettore A' che ad essa corrisponde rappresenta una soluzione par- 

 ticolare delle equazioni differenziali (70). 



Tutte le altre soluzioni si ottengono aggiungendo al vettore A' così ottenuto 

 un vettore arbitrario a distribuzione non circuitale (e solenoidale). Se infatti A" è 

 un altro vettore del quale la circuitazione su di una linea chiusa qualunque è uguale 

 a quella di A', e se poniamo A" — A' = A , abbiamo, facendo la circuitazione su 

 di una linea qualunque: 



Circuit. A" — circuit. A' = circuit. A ; e quindi circuit. A a = 0. 



La lamina immaginata di contorno SS e di potenza i = -r — , dicesi equivalente 



al filetto vorticale SS dato. Per mezzo della considerazione della lamina equivalente, 

 il vettore dovuto al filetto vorticale, in un punto P qualunque, si determina nel 

 modo seguente: 



