7 SULLE EQUAZIONI DEL MOTO t)EI CORPI ELASTICI 301 



Se dS, dS' sono due elementi di volume di S ed ti, v, w; «', v', io' sono i 

 valori delle funzioni u, v, w in questi elementi, avremo: 



T =:= i'c^S := \ dS', 

 J s J s ' 



B.T = J'(| e= + 2fa + 2fl, + 2t13 + fn + ik + t!^) c^S c^S', 

 2AT = J") (m - u'f + {« — »')' + (w - io? I dB dS', 



dove le integrazioni devono essere fatte in modo che una coppia qualunque 61, 65 di 

 elementi di S venga considerata due volte. 

 Cambiando le variabili in modo che: 



(10) 



= £ -f- p sen \\) cos (p , y ^ ti -(- p sen i|i sen (p , z = p cos \\i ; 



= £ -|" P' sen ip cos cp , t/' = n + P' sen ip sen cp , «' = p' cos vp 



ed applicando la nota regola del cambiarliento di variabili negli integrali multipli, 

 viene (^): 



j <2S c?S' ^=- + )(p — p')" sen ip cos ip dpdp' didr\d^l dq); 



e posto: 



dQ = ^^7 sen ip cos ip c?£ (^ri c^ip c^cp , 



è -= J'(f e^ 4- 2Tf, -f 2tL + 2t|:, + Ti, + ^31 + fn ) (P - p')= dp dp', 



2a = f ) (m - »')' + (^ — «')' + (W' — «''F ( (P - P')' dp dp', 

 risulta : 



B.T = jbdQ, A.T = fadQ. 



li cambiamento di variabili (lO) si può effettuare rimpiazzando dapprima x, y, z 

 con p, vp, cp e considerando x',y', z' come costanti p): in tale ipotesi avi-emo: 



B.T = J-jfe' + tL + Ti. + tL 4- 2 (Il + gg + |^£) + 



+ (a^ ^ (I) + (a + !£) + (I) + {£) + (^:) + (|) + (£)i ^^^B' = 



=Jj^e^ + r!. + Tf. + Tà + 2 (g| + tt + Sai^^S.S' + 



"f" J j ^ Up/ "•" p' Vòvì '^ P^sery^^ U-p] "■" Upj "1" p' \ò^v) ' p" sen» V Idcpi "+" 

 "^ idp] "^7 id^j ^p^seii'v va?) 1 ^^* 



(') Il segno deve in ciascun punto essere scelto in maniera che tutta l'espressione: 



(p — p')^ sen i)j cos v dp dp di dr\ dt]! dq) 



si mantenga sempre positiva (v. ad es.: Picard, Traité d'Analyse; T. I, Cap. V). 

 (') PicAED, l. é., pag. 181. 



