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r linee p, ■ I. pj= cost li traiettorie della trasformazione infinite- 



sima. Espresso il A« in coordinate p l7 p 2 , p :) , ricavo le forme caratteristiche dei 

 e 



potenziali corrispondenti, ponendovi -r — = 0. 



Siccome vi hanno cinque categorie (distinte, anche per rispetto alle traiettorie) 

 di trasformazioni infinitesime reali di 6 7 : traslazioni, rotazioni, trasformazioni eli- 

 coidali, omotetie, trasformazioni spirali, così si ottengono altrettanti tipi di poten- 

 ziali binari reali, che, avuto riguardo alla congruenza, formata dalle linee, su cui 

 essi conservano valore costante, possono opportunamente designarsi come segue: 



1° Potenziali cilindrici o logaritmici; 



2° Potenziali circolari o simmetrici; 



3° Potenziali elicoidali (dipendenti da un parametro); 



4° Potenziali conici; 



5° Potenziali spirali (dipendenti da un parametro). 



Di questi tipi l'ultimo soltanto è nuovo. Il 1°, 2° e 4° sono infatti ben noti e 

 il 3°, benché non sia stato ancora considerato da vicino, ricorre già nella " Com- 

 mentatio Mathematica „ di Riemann. 



In codesta " Commentatio „ , insigne concezione del suo genio meraviglioso, 

 Riemann enumera tra altro i diversi casi, nei quali la equazione: 



k -g— -f- Au = 0, (con k costante), 



può dipendere da due sole coordinate di spazio. In ognuno di questi casi deve ma- 

 nifestamente dipendere da due sole coordinate la espressione Am e quindi a fortiori 

 la equazione Am = 0. 



Dei risultati di Riemann hanno relazione colla nostra ricerca soltanto quelli, in 

 cui u possiede la massima generalità, l'ipotesi cioè, che egli designa con m = 1. 

 Tale ipotesi conduce precisamente ai tipi 1°, 2° e 3° (*). 



Si tratta ora di decidere se i potenziali binari, che scaturiscono dalla accennata 

 considerazione gruppale, sono i soli possibili o se vi hanno altri tipi. 



Ho istituita a tale scopo una ricerca sistematica, di cui a §§ 3-8. 



Dovetti rinunciare al metodo di Riemann, che male si sarebbe prestato in questo 

 caso per la maggior complicazione dei calcoli ; ho preferito di formare direttamente 

 le equazioni differenziali, cui debbono soddisfare tre funzioni S 11 ' , E (2) , E' 3 ' delle varia- 

 bili % t , x s , x$, affinchè la congruenza: 



d.Ti &xi _ dx 3 

 sia costituita da linee equipotenziali. 



C) Osservo per incidenza che la possibilità di rendere indipendenti da una coordinata le espres- 

 sioni del A>i, che spettano a ognuno di questi tipi, segue senz'altro da ciò che essi (ed essi soltanto) 



2 



corrispondono a trasformazioni infinitesime del gruppo dei movimenti, per cui, nonché l'equazione 

 Am = 0, addirittura il Am è un invariante. 



t 2 



