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3 TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAK DIPENDERE DA DUE SOLE COORDINATE 107 



Dopo ciò, ritrovo subito il risultato del § 1, constatando che i coefficienti d'ogni 

 trasformazione infinitesima di G 7 sono integrali del sistema. Uno studio diretto di 

 tale sistema sarebbe per altro pressoché impraticabile, causa il rapido complicarsi 

 delle formule. 



Ho fatto perciò appello ai metodi del Prof. Ricci, che con mirabile agilità si 

 adattano a questioni svariatissime, mettendone ognora a nudo l'intima natura e 

 sfrondandole da ogni difficoltà inessenziale. 



Per facilitare la applicazione di questi metodi al nostro problema, apparve 

 opportuna una breve escursione nel campo della geometria intrinseca di una con- 

 gruenza di curve. 



Ricordate nel § 4 le formule fondamentali di Ricci e indicatane una opportuna 

 specializzazione per lo spazio ordinario, esamino nel § seguente un caso particolare 

 notevole, quello delle congruenze rettilinee isotrope; costruisco una espressione (che 

 credo nuova) pel quadrato dell'elemento lineare dello spazio, riferito alle rette della 

 congruenza come linee x x = cost, x 2 = cost, e ne deduco agevolmente che ad ogni 

 congruenza rettilinea isotropa corrisponde una classe di potenziali binari (potenziali 

 isotropi), le cui linee equipotenziali sono appunto le rette della congruenza ( 1 ). 



Dopo questa digressione, riprendo (§ 6) le condizioni di equipotenzialità, risguar- 

 dandovi (come è sempre lecito, finche non si tratta di linee di lunghezza nulla) 

 g(i) ) g(2) ) gi3) q Ua | e sistema coordinato contravariante (coseni direttori, se le coordi- 

 nate sono cartesiane ortogonali) della corrispondente congruenza. 



Una facile trasformazione conduce di qua alle equazioni intrinseche (E) delle 

 congruenze equipotenziali. 



Stabilisco poscia (§ 7) le caratteristiche intrinseche delle congruenze; costituite 

 dalle traiettorie di un gruppo reale co 1 di similitudini. 



Così finalmente posseggo quanto basta per esaurire la ricerca delle congruenze 

 equipotenziali : Non ho che a tener conto delle condizioni di integrabilità del si- 

 stema (E). 



Lo studio se ne fa in modo semplice e non privo di eleganza e agevolmente 

 si stabilisce che le congruenze equipotenziali, sono rettilinee ed isotrope, oppure 

 constano delle traiettorie di un gruppo co 1 di similitudini. 



Se si avverte che le rette parallele o concorrenti in un medesimo punto sono 

 casi particolari di congruenze isotrope, si può enunciare il risultato : 



I potenziali binari reali sono isotropi, simmetrici, elicoidali o spirali. 



(') Debbo alla cortesia del Prof. Klein la comunicazione che questi potenziali isotropi compa- 

 iono sotto diverso aspetto nella memoria di Jacobi : Ueber eine particulare Losung der partiellen ■ 



tfV ft 2 V d 2 V 

 Differentialgleichung TTfTT+rT = (" Crelle's Journal „ B. XXXVI, 1848, oppure " Ges. 



Werke „, B. II). Jacobi li definisce come soluzioni simultanee delle due equazioni: 



Il legame tra siffatti potenziali e le congruenze isotrope fu con geniale intuizione avvertito dallo 

 stesso Klein. 



Per la dimostrazione, veggasi la nota alla fine del § 5. 



