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Per essere completo, stimai opportuno di confrontare tra loro questi tipi, ricer- 

 cando se e quali delle corrispondonti equazioni sieno riducibili (') l'una all'altra. 



Mi sono valso a tale scopo del metodo, proposto dal Sig. Cotton nella sua bella 

 nota " Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre ii deux variables „ ( 2 ). 



È risultato (§ 9) che i potenziali isotropi equivalgono tutti ai logaritmici; il 

 parametro dei potenziali elicoidali non è essenziale, talché essi rientrano in una 

 categoria unica, distinta per altro, bì dai potenziali logaritmici, che dai simmetrici 

 e spirali. Quest'ultimi, non solo sono irriducibili agli altri tipi, ma nemmeno si equi- 

 valgono tra loro per valori diversi del parametro. 



§ 1. 

 Trasformazioni infinitesime, ammesse dalla equazione di Laplace. 



Sia la trasformazione infinitesima: 



ÌL _l_ ? Ò J _i_ ? JL 



Xf=^£+^: + 2s 



e la equazione a derivate parziali: 



A Òhi . Ò 2 M I Ò' 2 M n 



Cerchiamo a quali condizioni debbono soddisfare i coefficienti E x , £ 2 > E 3 di Xf, 

 affinchè, convenendo di risguardare la funzione w come invariante, la equazione Aw = (i 



2 



ammetta la trasformazione infinitesima Xf (debitamente estesa), si abbia cioè: 

 (1) X/Aw)s_2MAw, 



dove Xf designa appunto la trasformazione, estesa alla w e relative derivate, M una 

 arbitraria, funzione di x% , x 2 , x 3 . 



Rappresentando con v, v s , v ss i coefficienti della trasformazione estesa, cioè, pos- 



siam dire, gli incrementi di u e delle sue derivate -r- , x~r rispettivamente , si 



OXs Ox t 



avrà, per la supposta invarianza di u, v = 0, e di conseguenza ( 3 ) : 



3 

 1 



v =-2Y òir ò * u T' ^ £r 



/-ir ÒVs ÒXrbXs I—ir Òx\ 



Òx r 

 1 



3- 3 



ÒXr 



1 



(') La riducibilità va intesa nel senso, abitualmente seguito nella teoria delle equazioni lineari 

 del secondo ordine. Due tali equazioni si ritengono equivalenti, se si possono ottenere l'una dal- 

 l'altra, combinando una trasformazione puntuale nelle variabili indipendenti con una trasformazione 

 moltiplicativa (u — \u) della funzione incognita. 



( 2 ) " Coniptes Rendus „, 30 novembre 1896. 



( 3 J Lie, Tfieorie der Trawformationsgruppen, voi. I, pag. 545. 



