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Posto poi M eguale ad una costante 0, si ha il sistema: 



'-'» lt + -&,- = ^ r - (r,« = l,2,8) 



adizionatamente integrabile ed equivalente al primitivo (2), (8): Esso definisce 

 le trasformazioni infinitesime del gruppo G, delle similitudini. La cosa è evid 

 se, interpretando le E r come componenti di uno spostamenti! infinitesimo, si ri 



:il significato cinematico delle -<- '- -j- 4—. Possiamo del resto constatarlo, formando 



l'integrale generale delle (2'). Siccome le derivate seconde delle £ r sono tutte nulle 

 (lo si riconosce immediatamente, derivando le (2')), il detto integrale si ha prendendo: 



3 



l r = c r +Yj, c " x -> (r = l,2,8) 



i 



e disponendo delle costanti in modo da soddisfare alle (2'), ossia: 



c« + c„ = 2e r ,C. 



Otteniamo così per la più generale trasformazione infinitesima, che conserva i 

 potenziali, la espressione: 



dove si è posto: 



y -e àf y n òf v ^ df 



òxì ' d%2 à x 3 ' 



e 1 = c lì e- 2 = c 2 , e 3 = c 3 , e., = c a , e 6 ±= c a , e s = c 12 , e-, = C. 



Essa ci si presenta pertanto come la più generale trasformazione infinitesima del 

 gruppo G 7 delle similitudini. 



Anche ogni trasformazione finita del gruppo lascia invariante la equazione: 



Am = 0, 



2 



ne trasforma cioè gli integrali in nuovi integrali. 



D'ora innanzi si considereranno come equivalenti due potenziali o due classi di 

 potenziali, che si possano dedurre l'una dall'altra mediante una trasformazione di G 7 . 





