TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAR DIPENDERE DA DUE SOLE COORDINATE 111 



§ 2. 



Potenziali binari corrispondenti alle trasformazioni infinitesime 

 del gruppo delle similitudini. 



Consideriamo le traiettorie: 



dx\ dx$ dx$ 



ti h h 



del gruppo oo 1 , generato da una trasformazione infinitesima Xf. 



Se con Pi, p 2 si rappresentano due integrali indipendenti della equazione: 



Xf=0, 



le dette traiettorie sono le intersezioni delle superficie: 



p x = cost 

 p 2 = cost. 



Associando a queste due famiglie una terza qualsiasi, da esse indipendente, 

 p 3 = cost, la espressione Xf, rispetto al sistema coordinato p x , p 2 , p 3 , assumerà la 



forma P(pj, p 2 , p 3 ) -+-. 



Dico che, se Xf soddisfa alla (1), o ciò che è lo stesso, appartiene al gruppo Gr 7 , 

 la equazione: 



Aw = 



si può far dipendere dalle sole coordinate Pi , p 2 . 



Suppongasi infatti la funzione u indipendente da p 3 ; lo stesso avviene delle sue 

 derivate, che risultano perciò altrettanti invarianti della trasformazione Xf e, come 

 tosto si riconosce, anche della trasformazione estesa Xf. Applicare quest'ultima al Ah 



2 



in 



equivale pertanto ad applicare la Xf = P -J- ai coefficienti del Au (espresso per 



0P3 2 



mezzo delle coordinate p 1 , p 2 , p 3 ), equivale cioè a derivare questi coefficienti rispetto 



a p 3 e moltiplicare poi per P. 



Segue quindi dalla ipotesi che u non contiene p 3 : 



dopo di che la (1) diviene: 



X(A M ) = P^(A M ), 

 2 «P3 2 



±(Au) = -*fAu 



0P3 3 ir 2 



