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la quale mostra che, supposto una volta u indipendente da f> :) , anche i singoli coef- 

 ficienti del Aw, moltiplicati per un conveniente fattore, riescono indipendenti da p 8 . 



2 



È questa precisamente la proprietà annunciata. Ne viene che la equazione Ai< = 0, 



2 



(i meglio, per far sparire anche formalmente la variabile p :i , la: 



f 2M , 



0« = e J ' A« = 0, 



postovi-^- = 0, definisce una classe di potenziali binari. Naturalmente tale classe 



rimane invariata, comunque si mutino in 0« le variabili indipendenti p 1( p 2 , me- 

 diante trasformazioni del tipo P! = Pi{o t , o%), p 2 = p 2 (o" 1( o" 2 ), d\ che equivale a sosti- 

 tuire due integrali indipendenti di Xf con due altri pure indipendenti). 



Non tutte le trasformazioni infinitesime di 6 7 danno luogo a distinti potenziali 

 binari, ma quelle soltanto, le cui traiettorie sono distinte rispetto a 6 7 , non si pos- 

 sono cioè far coincidere mediante trasformazioni del gruppo. 



Sieno infatti Xf e X'f due trasformazioni di 6 7 , 0w = O, Q'u = le equazioni, 

 che definiscono i corrispondenti potenziali binari; e supponiamo che esista una tras- 

 formazione T del gruppo, la quale faccia passare dalle traiettorie di X'f a quelle di Xf. 



I due sistemi di superficie: 



p\ = cost, 

 p' 2 = cost, 



corrispondenti ad X'f, si potranno scegliere in modo che: 



Tp' = Pi, 



Tp' 2 = p 2 . 



La trasformazione T, applicata agli integrali u (p\, p' 2 ) di O'm = 0, li cangia 

 in u (Tp'i, Tp' 2 ) = w(p 1 , p 2 ), cioè nelle stesse funzioni delle variabili p 1; p 2 ; d'altra 

 parte la T conserva i potenziali, dunque le « ( lt p 8 ) sono altrettanti potenziali 

 indipendenti da p 3 e perciò integrali della equazione 0w = 0. Nello stesso modo, 

 considerando la trasformazione inversa a T (e prescindendo, si intende, dallo scambio 

 materiale di p 1( p 2 in p'j, p' 2 ) si riconoscerebbe che Q'u = ammette tutti gli inte- 

 grali di Qu = 0. Le due equazioni sono dunque identiche. Appare così sufficiente, 

 per lo scopo nostro, di considerare trasformazioni infinitesime di G 7 , non dotate di 

 traiettorie equivalenti rispetto a tale gruppo. Dei corrispondenti potenziali si può 

 asserire che essi non sono riducibili l'uno all'altro mediante similitudini ; poiché, se 

 lo fossero, lo stesso dovrebbe accadere per le rispettive linee equipotenziali, contro 

 l'ipotesi. Essi appartengono perciò da questo punto di vista a tipi diversi. 



