9 TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAR DIPENDERE DA DUE SOLE COORDINATE 113 



Altra cosa è per le equazioni, che li definiscono. Queste infatti, pur apparte- 

 nendo a tipi geometricamente distinti, possono benissimo risultare tutte o in parte 

 trasformabili (nel senso più largo, in cui va qui intesa la trasformabilità). 



Ma di ciò a tempo debito (§ 9), quando avremo esaurita l'indagine dei poten- 

 ziali geometricamente distinti. 



Occupiamoci ora della effettiva costruzione delle equazioni Qu = 0, che proven- 

 gono dai diversi tipi di traiettorie dei gruppi co 1 di G 7 . Limitandoci, il che è per 

 noi naturale, al campo reale, si hanno, come è ben noto ( x ), i cinque tipi seguenti 

 di equazioni Xf = (cioè di traiettorie) : 



io -V- = • 



2°. <xk-^ — x l 4^ = 0; 



ori or 2 



^Sr — *ii£- + m i£- = > (»>0); 



dxi o^a ape, 



4°. ^^- + ^-^- + ^^ = 0; 



ÒXi Ò2-2 Ò»3 



Facendo successivamente: 



»i = Pi , x% = Ps , Oda = p 3 ; 



•i'i = Pi cosp 3 , x 2 = Pi senp 3 , x 3 = p 2 ; 



a? l = p 1 cosp 3 , a? 2 = Pisenp 3 , oj 3 =p 2 — mp 3 ; 



#i = Pssenp! cosp 2 , x z = p3senp x senp 2 , # 3 = p 3 cosp 1 ; 



#i = Pi senp.>e m e3cosp 3 , x 2 = Pi senp2e m e 3 senp 3 , x 3 = p! cospjg™© 5 , 



si constata senza alcuna difficoltà che p lf p 2 sono in ciascun caso due integrali indi- 

 pendenti delle cinque equazioni nell'ordine scritto. Se poi si suppongono p 1} p 2 costanti; 

 e si immagina di far variare p 3 , apparisce tosto la natura geometrica della con- 

 gruenza, costituita dalle linee p t = cost, p 2 = cost, che sono ordinatamente rette 

 parallele, circoli col medesimo asse, eliche col medesimo passo, raggi concorrenti in 

 un punto, spirali di egual parametro. 



Per formare le equazioni ©<« — 0, (i = 1, 2, 3, 4, 5), che competono a questi 

 cinque casi, basterà oramai esprimere il Am in coordinate curvilinee p 1( p 2 , p 3 , porvi 



y- = e moltiplicare, se occorre, per un conveniente fattore, in modo da far spa- 

 rire il p s . 



(') Veggasi per es.: Lie-Scheffers , Vorlesungen iiber Differentialgleichungen, ecc., pag. 237-243; 

 oppure: P. Staeckel, Beitrdge zvir FISchentheorie, VI, ".Leipziger Bericlite „, 1898. 



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