13 TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAR DIPENDERE DA DUE SOLE COORDINATE 117 



e detti, come sopra, a [n) gli elementi reciproci ad a„ nel determinante a = > ±«u«22«33» 

 sarà colla notazione delle derivate covarianti: 



3 



A«=Y a™u rs . 

 La equazione Xm = assumerà genericamente l'aspetto: 



3 



Xu = ti» P + £' 2 > P + £' 3 ' p =V E»* = 0. 

 dari da;. òa;3 jLj 



i 



I coefficienti E ,l) , 2 (! >, 5 (31 sono elementi di un sistema contravariante a priori 

 indeterminato; perchè essi rispondano alla questione, è necessario e basta che la 

 equazione (di secondo ordine) : 



AXw — XAm = 



2 2 



sia una conseguenza delle due Aw = 0, Xw = 0, ossia che il primo membro di essa 

 riesca una combinazione lineare di Aw, Xw e delle tre derivate (ordinarie, a ciò che 



2 



torna poi lo stesso, contravarianti) di quest'ultima. Avremo dunque, per caratteriz- 

 zare le S (r) , (r = 1, 2, 3), le condizioni, che scaturiscono dalla identità: 



3 



(4) AXw — XAw = 2MA« + NXu + 2Y j r (Xit)', 



1 



dove i moltiplicatori M, N e g„ possono essere arbitrarie funzioni di x t , % s , x 3 . 



È appena necessario osservare che, reciprocamente, ogniqualvolta le S' r| , (r = 1,2,3) 

 soddisfanno alla (4), le caratteristiche della equazione Xm = , cioè le linee della 

 congruenza: 



dxi dx 3 dx 3 



riescono equipotenziali. 



Infatti esse non sono altro che le linee p 3 (pi= cost, p 2 = cost), quando si assu- 

 mono come superficie coordinate p x = cost, p 2 = cost due integrali indipendenti di 



X« = 0. D'altronde la (4) stessa ci assicura che, ponendo inAw = 0,-r — = 0, si 



2 0P3 



ottiene effettivamente un potenziale binario. 



Avviamoci a stabilire le equazioni, in cui si scinde la (4), eguagliando i coeffi- 

 cienti delle singole derivate (contravarianti) di u. 



Avremo in primo luogo, applicando le regole di derivazione dei sistemi com- 



3333 



posti (^ e scrivendo /^ «„«'"', V 5,w (() per Y à n) u TS , Y £ W W/: 



(') Cfr. Ricci, Lezioni sulla teoria delle superficie, cap. III. Padova, presso i fratelli Drucker, 1898. 



