15 TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAR DIPENDERE DA DUE SOLE COORDINATE 119 



quello dei termini di prim'ordine: 



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(6) V«^£ jy9 =N5 r +2V/'£„, (r = 1,2,3). 



In coordinate cartesiane ortogonali le a rs , a ljs) valgono e„ e le derivate cova- 

 rianti coincidono colle ordinarie. Le equazioni (5) e (6) si possono allora scrivere: 



(P'ì -g- + ]^ = 2e„M + ^S s + <7 s ? r , {r,s = 1,2,3); 



(&) ^ = N£ '+ 2 l>lb (r= 1,2,3). 



Se si suppongono N e le g eguali a zero, si ritrovano le equazioni (2), (3) del 

 § 1: Ogni loro soluzione appartiene perciò anche al sistema (5), (6). Questo torna a 

 dirci che le traiettorie di un gruppo co 1 di similitudini costituiscono una congruenza 

 equipotenziale. La condizione di equipotenzialità ci si presenta per converso sotto 

 una forma molto più generale, in quanto le equazioni, cui debbono soddisfare le £,. , 

 contengono ben cinque funzioni arbitrarie. Con tutto ciò, vedremo più innanzi che 

 siffatta maggiore arbitrarietà influisce soltanto in un caso, che potrebbe chiamarsi 

 singolare. Nel caso generale essa sparisce, quando si tien conto delle condizioni di 

 integrabilità del sistema. 



§4. 



Generalità sui sistemi ortogonali di congruenze ( 1 ). 

 Formule intrinseche per tuta congruenza dello spazio ordinario. 



Data in uno spazio qualunque ad n dimensioni, di elemento lineare: 



n 



ds 2 = > a r ,dx r dx,, 

 una congruenza di linee, definita dalle equazioni: 



dx\ dx% _ dxn 



5(l| .5(2, ■ • ■ — g( B) , 



poniamo, come è certamente lecito, se la congruenza è reale: 



x(rl = e v E „ ) = -fS (r=l,2,...,n), 



(') Ricci, Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque, " Memorie della R. Ac- 

 cademia dei Lincei „, 1896. 



