17 TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAR DIPENDERE DA DUE SOLE COORDINATE 121 



in numero di 7~ , che generalizzano quelle ben note tra i coseni di un' ennupla 



a 



ortogonale negli spazi euclidei. 



Per brevità, chiamerò [1], [2], ecc. la congruenza di sistema coordinato Xf 1 , \%\ ecc.; 

 linea s lt s 2 , ecc., relativa ad un dato punto, la linea della corrispondente congruenza, 

 passante per quel punto. 



Derivando covariantemente le (7), si ha: 



(7') 2 X "'" X|J '+2 r Xfc! " X!i ' l = ' (h,k,s = 1,2, ...,«), 



talché le n 3 derivate delle \ hl r si trovano legate da n ^ ^ relazioni. Potremo 



esprimerle tutte in termini delle \ hU e di certe n " ^ ausiliarie , che si introdu- 

 cono nel modo il più conveniente, ponendo: 



n 



(8) t*m =y K i rsW Al" , (A, k,l=l, 2, ... , n). 



Queste t sono altrettanti invarianti e ve ne ha effettivamente solo n 7" — di 

 indipendenti, in quanto le (7'), moltiplicate per X[ s > e sommate rispetto ad s, porgono: 



n n 



donde : 



(9) Tmh + T*m = 0, (h, k, l = 1, 2, ... , n), 



e in particolare: 



T»h = 0. 



La risoluzione delle (8) conduce alle cercate espressioni delle derivate prime: 



n 



(8') A h |„ => T M jXj|,A,-|,. 



Derivando ancora ed eliminando le derivate prime a mezzo delle (8') stesse, si 

 ottiene : 



n n n 



(10) Ah irsi = / à Tfty|(At| r Aj|j -f- / T»tj Tìw As | r Aj | j A,- 1 s -f- / Thij T/mX;:| jXi||Xj| r . 



Le t, che s'è visto essere in numero di n " "7" algebricamente indipendenti , 



Ci 



sono legate da certe relazioni differenziali, che si ottengono facilmente, esprimendo 

 che i secondi membri delle (10) sono le derivate seconde (covarianti) degli elementi 

 di uno stesso sistema semplice. 



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