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Le quantità p, q, r, come può desumersi dalla interpretazione generale degli 

 invarianti t ('), e come del resto risulta da note considerazioni di cinematica (-), 

 ltanno significato di rotazioni. 



Per precisare tale significato, si fissi un generico punto P e altri tre punti infi- 

 nitamente vicini P lt P 2 , P 3 , appartenenti rispettivamente alle direzioni positive delle 

 linee s lf s 2 , s 3 , passanti per P: Sieno ds 1 , ds 2 , ds s gli archetti elementari interposti. 



Si immaginino i triedri trirettangoli T, T 1( T 2 , T 3 , costituiti dalle direzioni posi- 

 tive delle tangenti alle linee delle congruenze in P, P 1? P 2 , P 3 ; dicansi in particolare 

 .'•, //, z le tangenti in P alle linee s ls s 2 , s 3 . 



Pid$i, qtdsi, r { dSi sono le componenti, rapporto agli assi x, y, z, della rotazione ele- 

 mentare, con cui si passa dal triedro T al triedro T,. 



Supponiamo ora che sia data un'unica congruenza [3]. Potremo in infiniti modi 

 associarne altre due, che costituiscano con essa una terna ortogonale. 



Per la applicazione, che abbiamo in vista, giova assumere come congruenze 

 [1], [2] quelle definite dalle direzioni positive delle normali principali e binormali 

 alle curve s 3 . Intenderemo al solito che la direzione positiva della norrtiale princi- 

 pale (e quindi di s x ) sia rivolta verso la concavità di s 3 e la direzione positiva di s 2 

 sia tale che il triedro, poc'anzi designato con x, y, z, presenti l'ordinario orientamento. 



Si ha in tale ipotesi, come è ben noto: 



(13) p 3 = 0, q 3 — p, r 3 = — t, 



per designando rispettivamente la curvatura e la torsione della curva s 3 nel gene- 

 rico punto, che si considera. 



Se mai la congruenza [3] fosse rettilinea, le [1] e [2] rimangono indeterminate. 

 Anche senza individuarle completamente, gioverà sceglierne una, la [1] per es., nor- 

 male. Ciò si può raggiungere in infiniti modi, prendendo ad arbitro una famiglia di 

 superficie rigate, le cui generatrici sieno. raggi della congruenza [3], e assumendo 

 poi per congruenza [1] quella costituita dalle traiettorie ortogonali. 



La [2] risulta allora determinata come ortogonale a [3], [1]. 



(') Ricci, Loco cit., pag. 22-23. 



{') Le forinole (Ilo), (llt>), (Ile) si sarebbero anche potute ricavare dalla così detta teoria del 

 triedrio mobile (veggasi ad es. Darboux, LeQ-ons sur la théorie des surfaces, livr. I, chap. V), tenendo 



presente che le differenze di due derivate -5 ; — , 3 — -5 — di una medesima coordinata non sono 



OS; OSi ÒSi OS/ 



identicamente nulle, ma hanno i valori (12'). 



