21 TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAR DIPENDERE DA DUE SOLE COORDINATE lj. r > 



La condizione affinchè la congruenza [1] sia normale si esprime mediante la 

 equazione ( l ): 



Tl23 Tl32 = 0) 



cioè: 



r, + q, = 0. 



Possiamo dunque per le congruenze rettilinee ritenere soddisfatte le equazioni 

 (13') p s = 0,q s = 0,r s = — q 2 . 



Questo modo di particolarizzare le (13) è quello, che meglio conviene alla nostra 

 ricerca, ma non è forse il più spontaneo, parendo a primo aspetto più semplice di 

 assumere le direzioni s t ed s 2 parallele fra loro lungo un medesimo raggio. 



Ogni triedro T 3 riesce allora parallelo a T e si annullano ad un tempo p s , q s , r 3 . 



§ 5. 

 Congruenze rettilinee isotrope e corrispondenti potenziali binari. 



Le equazioni intrinseche: 



(14) jp s= =0,'g s = 0;j»i = ?8.2>8 = — 2i, 



hanno carattere invariantivo rispetto alla congruenza [3] ( 2 ) e sono perciò valide 

 qualunque sia la coppia di congruenze ortogonali associate. Possiamo poi, prendendo 

 la [1] come s'è detto or ora, supporre verificata anche la condizione: 



r 3 = — <h ■ 



Si tratta di studiare un po' da vicino le congruenze, che appartengono a questa 

 categoria. 



Il problema analitico corrispondente è presto formulato: Si dovrà integrare il 

 sistema di equazioni intrinseche, che consta delle fondamentali (11„), (Ut), (ll c ) 

 e delle: 



(1-1') i> 3 = 0, q s = 0; Pi =<?2, P2- — 2iJ r s = — q 2 . 



Portando questi valori nelle equazioni fondamentali, le (ll a ), (111) si riducono 

 a quattro distinte, che ordineremo come segue: 



l 1 ) Ricci, Loco cit., pag. 27. 



( 2 ) Infatti, coi simboli di Ricci, le due prime equazioni (14) T323 = 0, Y3i3 = esprimono che la 

 congruenza [3] è geodetica, e le altre due T3i2 + Y32i = 0, Y311 = T322 che la sua equazione algebrica 

 caratteristica ha radici eguali. Cfr. loco cit., pag. 24, 31. 



