e i>or i,j= 1,2: 



TULLIO LIVI-CIVITA 



2-1 



che sono le: 



T311 = H(t3u -|- Ywi) 

 Tate = O (Tjiì t~ T32i) 



Y:ll2 -f" Y321 = 2b(*fuiT312 "T TdSlTiw)' 



Le prime tre si riducono a: 



T323 — , T313 = , 

 Pi = , 23 = 

 delle (14); il secondo gruppo equivale a: 



T311 "T Ysss == o(T8ii ~T Y322 ~T~ T312 ~T Y321) 1 



(T311 T382J Ì HYsiS -\~ T321) = « I U3U Ystó ± 2^311 T3iz) (Y322 Y321 + 2lT322Ts2l) ( = 



S ) (Tsn ± ifmY — (T32! + »T«a)* ! = 



S ) (Tsu+ T382)±*(Tsw — T»i)j |(Tsu— Tsm)±*(T»iì+T8Si)(i 



dove i = y — 1. 



Se le (14) sono soddisfatte: 



Tsn — T322 = <Zi + Vi — ° . 

 T312 + T321 = te — Pi = ° . 



e quindi risultano identicamente verificate le due ultime equazioni; quanto alla 

 prima, basta disporre di S in modo opportuno. 



Reciprocamente sarebbe assai facile constatare che, se una congruenza retti- 

 linea reale è isotropa (x = Sip), le (14) riescono soddisfatte, oppure la congruenza 

 consta delle traiettorie ortogonali ad una famiglia di rigate parallele (T312 = T321 = 0, 

 T311T322 — 0). 



Posto ciò, veniamo alla effettiva integrazione del sistema (C). 



Incominciamo col fissare le coordinate curvilinee, a cui intendiamo riferirci. 

 Dacché, per ipotesi, (q 2 -4- r 3 = T123 — Yi32 = 0), la congruenza [1] è stata scelta 

 normale, appare indicato di assumere come superficie coordinate x x = cost le traiet- 

 torie ortogonali alle linee della congruenza. 



Le Ai | r risultano allora proporzionali alle derivate della funzione x x . Indicando 

 con H x il fattore di proporzionalità, avremo: 



^iii = Hi, ^1 1 £ = , Xi| 3 = 0. 



Per essere, a tenore delle (14'), pi — q 2 e quindi: 



pi — r 3 = T231 — T213 = , 



