27 TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAR DIPENDERE DA DUE SOLE * COORDINATE 131 



le quali si prestano assai bene al calcolo effettivo delle p, q, r e danno intanto iden- 

 ticamente (come si poteva prevedere): 



Tl23 — Yl32 = r h + >':ì = 

 T231 — T213=»-3+.Pl = 0- 



Senza scrivere tutti i valori delle p, q, r e poi semplificarli a norma delle (C), pro- 

 cediamo alla spicciolata in modo da usufruire di ogni semplificazione nei calcoli 

 successivi. 



Facciamo nelle (18) h = 3, h = l, e h = 3, ft = 2. Si ricava: 



1 ÒX3 1 2 



Ts28--.Ps--5--j^-, 



T313 lì — — ~W~ 



1 dX 3 i 



Hi bx s ' 



ma si hanno le equazioni p 3 = , q 3 = 0, dunque \ 3 ( 1 , \ ì]2 sono funzioni soltanto 

 di X\, x 2 . 



Prendiamo ora h = 2, k = l, e h = l, k = 2; avremo: 



òlogH 2 

 — T232 — — P2— dxs , 



_ _ 9logHi 



Tisi— «Zi - — ^ , 



e, in causa della equazione p 2 + li = : 



^1 Io °h7J = ' 



"PC 

 cioè il rapporto —■ è funzione soltanto di x t , x 2 . Dato questo, è facile vedere che 



iii 



si può addirittura supporre H x = H 2 . 



E per verità, circa le superficie a? 1 = cost, s'è richiesto finora soltanto che 

 sieno rigate della congruenza [3] ; in base alle (14), s'è poi constatata la esistenza 

 della famiglia di rigate ortogonali x 2 = cost . Per individuare queste due famiglie in 

 modo che risulti Hi = H 2 , procediamo come segue. Immaginiamo da principio una 

 famiglia affatto generica x\ = cost' di rigate della [3] e la famiglia ortogonale asso- 

 ciata as' 2 = cost. Sieno [1'], [2'] le corrispondenti congruenze, \' 1]r =.e lr H', , \' 2| ,=e 2r H' 2 

 gli elementi dei loro sistemi coordinati covarianti, relativi, si intende, alle variabili 

 x 1, x 2 , a; 3 = x$. 



Consideriamo poi l'invariante: 



3 

 y (X'i 1 , X'i , , + \\ , ,. X' 2 1 s ) dx' r dx\ = H'! dx'ì + HI dx'l 



