L82 • TUi.i.io i.i.vi-civn'A 



e operiamo una trasformazione di variabili: 



■T i = 2!] (Xi , X t ) 

 X 2 — — X j \X\ , X<i) 

 X 3 = X 3 , 



/ H' \ ^ 

 mediante cui la forma dx'\-\- l-gr-) «fo'f (che dipende, per quanto s'è visto, dalle 



sole variabili x\,x' 2 ) risulti riferita a parametri isometrici. Potremo allora porre: 



R'\dx'\ + E'ìdx'l = W(dx\ + dxl), 



con H funzione di x x , a? 2 , a; 3 . 



Riferendoci a queste nuove variabili x ì ,x 2 ,x 3 , rappresentiamo con \'j| r , V 8 | r i 

 sistemi coordinati covarianti di [l'J, [2'|, con X, , r = € lr Hi , X 2 |,. = e 2r H 2 quelli delle 

 congruenze [1], [2] (traiettorie ortogonali delle superficie o , 1 = cost, a , 8 = cost, che, 

 come le .-r' 1 = cost, #' 2 = cost, sono rigate di [3]). 



E chiaro che, per ogni punto dello spazio, si passa dalle X'u r , X' 2 | r alle X 1]r , X 2|f 

 mediante una trasformazione ortogonale del tipo: 



X ; ! | r = cos 9- Xi | r + sen * X 2 , r 

 X' 2 , r = — sen9-Xi| r -j- cos^-X, |, , 



9- essendo l'angolo, che formano tra loro, in quel punto, le direzioni positive delle 

 linee di [1] e [1']. 

 Di qui risulta: 



3 s 



Z{\'nA\ ls J \-\' 2[ A'2 i s)dx' r dx' s =y (\' llr \' Us +\' 2lr \'n,)dx r dx s = 

 rs ***rs 



3 



V (X M r X 1|s + X 2 | r X 2 | *)dx T dx s = ~Q\dxl -f B.\dx\. 

 Ma, per il modo, onde vennero scelte le variabili x t , x 2 : 



3 



y (X', | r *i i . + ^i i r X' g | s ) dx'-dx', = H'f dx'\ -f H'| dx'\ = H 2 {dx\ + dx\) , • 

 i rs 



talché : 



H? dx\ + HI dx\ = H 2 (dx\ + dxl) 



e per conseguenza: 



Hi = H 2 = H , 



come si voleva dimostrare. 



