83 TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAR DIPENDERE DA DUE SOLE COORDINATE 137 



Il confronto colla (17') e l'impiego delle (18") conduce immediatamente alla: 



(17") H 2 AlogH 8 + 4#I 2 = ffAlogH 2 + -J^- = 0, 



che sviluppata ci dà: 



i «li ii i ( ftli_ i§. ì 



ò da . V dx t 1~ X 'òx t , ò ' da ■ P cte 2 ^'dir, , 

 da-, ( dar, ~T * * 8 3 + f5 2 ) "•" bx 3 i fa 1" A a^. + p* ) ~T 



"T 9a . 3 I da* d* t _ do, da; 2 "+" óe Xì "T ** «a, + p* 1 T 



■ 4 g V» _)ò«q | ò'a | „) , 2P 'ò^ + ò^ + 2e "M _ 

 "T" a: 3 3 +P 2 — Ux\ ~T~ÒxS T * e I "•" a*, + P 2 — U ' 



ossia, per la (15"): 



(17"')' »* + **- = _ 2 j t 



v ' da; 2 , dar, 



Il nostro calcolo è ora compiuto. Da esso risulta che, per ogni congruenza iso- 

 tropa (non normale), un'opportuna scelta del sistema di riferimento permette di attribuire 

 al quadrato dell'elemento lineare dello spazio la forma: 



(20) ^ = j ff + (^) 2 !^f + )ff + (^) 2 (tói + ^ + 



ld*J l"" T r I Ida-, 



+ 2 t — dx,dx z — 2 - — dx s dxi — 2 - — - — dx^dx, , 

 da;, s da; 2 d#i da; 2 



dove: 



(21) H» = e«(aS + p*) 



e a, ^ sono funzioni delle- sole variabili x t , x 2 , che soddisfanno rispettivamente alle 

 equazioni: 



C22Ì d 2 " _(- 5 * a — _ 9*a m 



òx\ ' 



da; 3 3 



d 2 3 , 

 das*. "T" 



d 2 S 



da: 2 2 



< 23 > ifr+it— 2 ^- 



Reciprocamente ogni elemento lineare (20), ^er c«w H , a e (3 si comportino nel modo 

 detto, appartiene all' ordinario spazio euclideo; e le linee x 1 = cost, x 2 = cost costi- 

 tuiscono una congruenza rettilinea isotropa. 



(') Si può osservare che l'equazione (22) esprime che l'elemento lineare e® (dx\ -f- dx' 2 ) appar- 

 tiene alla sfera di raggio 1. Nulla di più naturale, poiché, se si assume la superficie media a: 3 = 

 a superficie di partenza e si forma l'elemento lineare, spettante all' immagine sferica della con- 

 gruenza Xi = cost, a; a = cost, si trova precisamente e^idx^i + dx\). 



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