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Quale la QflB00gufinza ui-'i riguardi delia tooria del potenziale? 



Questa somplicemouto che le congruenze rettilinee isotrope (') sono equipotenziali, e 

 le equazioni di definizione dei corrispondenti potenziali innari si riducono in ogni caso 

 (come segue dalla (19), supponendovi u indipendente da x 3 ) alla forma di Laplace: 



ei u = i^ + -g =0 l'L 



(') Non escludiamo le congruenze normali, poiché anche per queste sussiste la medesima pro- 

 prietà, come risulta dai §§ 8 e 9. 



( a ) Si può facilmente riconoscere che l'insieme di tutti i potenziali isotropi coincide in sostanza 

 con quello, definito da Jacobi, a mezzo delle equazioni: 



(A) Av = > (AV) a = 0. 



In primo luogo, posto : 



(B) V = *! + »«,, 



si ha, scindendo la parte reale dalla immaginaria: 



(A') Aa; 1 = 0, Ai 2 = 



2 2 



(A") Aa; l = Aa; s ,, y(x t , ar 2 ) = , 



ì ì 



talché, nel campo reale, i potenziali di cui si tratta, sono tutte e soltanto le soluzioni del sistema 

 (A'), (A"). 



Si noti ora con Jacobi che, assieme a V, anche una qualunque funzione F(V) (della sola V) è 

 integrale delle A. Perciò la parte reale u(x it ar 2 ) di F^V) è ancora un potenziale della categoria 

 considerata. In altri termini, scelti una volta x it x 2 in modo da soddisfare alle (A'), (A"), la equazione: 



d 2 « , ò 2 u 



dx\ da; s 2 



definisce una sottoclasse di potenziali (della detta categoria). Essi sono manifestamente binari. Dob- 

 biamo far vedere che sono isotropi, cioè che ogni congruenza, costituita dalle intersezioni delle 

 due famiglie di superficie : 



Xi = cost , x 3 = cost , 

 è rettilinea ed isotropa. 



Designiamo una tale congruenza con [3] e completiamo la terna colle traiettorie ortogonali 

 delle famiglie a;i = cost, a; 3 ==cost (le quali sono tra loro ortogonali, per la seconda delle (A"))- 

 Avremo, riferendoci ad un generico sistema di coordinate curvilinee Pi, p 2 , p 3 : 



1 Ò2Jl 



Al | r : — 



A2|r = 



Aa:, dp. 

 1 fa 



1 (r— 1,2,8) 



Ax 3 dp r 

 1 



le quali, avendo riguardo alla (B) e alla prima delle (A''), si possono compendiare in: 



Al | r + *'À2 | r = "X Vr . 



1 



Per derivazione, si trae: 



i i 



