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£„ + E, r = 2M«„, 









o provongono, come già sappiamo, dallo (5), (G) col farvi N = 0,£r r = o. 



Per quanto s'ò visto noi § antecedente, la sostituziono allo E r dei valori II) 

 conduce a oquazioni della stessa forma nelle X 3 | r . Le nuove M, g r ed N saranno 

 ordinatamonto, a tenore dello (24): 



M =Me y 

 9t = v r 



3 3 



N =V aW (v„ - v„v,) = V a««» (&, - frft) . 



Se si bada che M e v sono a priori indeterminate, si può tosto concluderò le X 3 , r deb- 

 bono verificare le equazioni (25) (26) delle congruenze equipotenziali, con questo in più 



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che le g r hanno ad essere le derivate di una medesima funzione ed N = > a tp,l> (g M — y '//,,) . 



Le equazioni intrinseche delle traiettorie, corrispondenti ai sottogruppi co ' di G 7 . 

 risultano così delle (E) e di quelle, che esprimono le ulteriori condizioni, teste accen- 

 nate. Per ricavarle effettivamente, notiamo in primo luogo che, dall'essere le g T deri- 



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vate di una medesima funzione rapporto alle variabili x r , segue che le tUj = > g r \[ r) 



sono le derivate della stessa funzione rapporto agli archi s { . 



Ciò si esprime, come si è visto, mediante le formule (12'). Per applicarle al caso 



nostro, basterà sostituire, al posto delle -y-, uu t , ui 2 , iu 3 e aver riguardo alle (33). 



Essendo, per le (25'"), uu 1 = <jf 3 = p, w 2 =^ 3 = 0, uu 3 = — M = — q x , viene: 



£ = p(T-ft>, 



In causa della (27) e della seconda e terza delle (28), queste equazioni si pos- 

 sono scrivere: 



da, 



(35) 



(36) Ms + P»'i = 0. 



