146 



TI 1.1. il; l.l.\ I-CIVITA 



42 



Condizioni di integrabilità del sistema (E). Conseguente li/tnitasione 



dei potenziali binari. 



Por stabilirò le coadizioni di integrabilità del sistema (E), gioverà distinguere i 

 duo casi p = o p non identicamente nullo. 



Cominciamo dal primo. Si tratta di una congruenza rettilinea, quindi (§ 4j po- 

 tremo assumere r 3 = — t = — q 9 . Lo (27) e (28) sono soddisfatte identicamente, le 

 (29), (30), (31) e (32), (33), postovi p= 0, t = 2 s , coincidono colle (15), (16), (17), 

 (14') del § 5 e costituiscono, come s'è visto, un sistema completo. 



Per q 2 diverso da zero, questo sistema definisce le congruenze rettilineo isotrope 

 non normali, di cui già con calcolo diretto abbiamo constatata la equipotenzialità. 



La ipotesi q 2 = corrisponde poi a congruenze rettilinee (isotrope e normali), 

 traiettorie di un gruppo co ' di similitudini, cioè stelle di raggi (eventualmente col 

 centro a distanza infinita). 



Infatti le (30) si riducono allora a: 





0, 



d?i 



o, 



e un semplice sguardo alle equazioni (Ej) (dove è a ritenersi p = , g 2 = 0) mostre 

 che esse riescono identicamente soddisfatte. 



Veniamo al caso generale, in cui sia p non identicamente nullo. 



La (27) dà t = § 2 e le (28) si possono scrivere: 



òlogp 

 òlogp 

 òlogp 



= P + r, , 



■2i- 



Le (12'), per essere g 2 -|- r 3 = g 8 — t = ,' divengono nel caso presente: 



àf 



(12") 



ò ò „ od „ 



ds 3 òs 2 ' òs 2 òs 3 -'' 



J_J_f <L jLf = (? JL 



òs, ds s òs 3 OS) ' " ^ l òsi 



i d f 



_*__*_ /\_J_J_f = r JL , r _V_ 2t J£_ 



òs 2 àsi òsi òs 2 : òsi òs 2 ds 3 



ÒSi òs 2 



e applicate alla funzione logp, porgono 



