45 TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAE DIPENDERE DA DUE SOLE COORDINATE 149 



Da tutto ciò si raccoglie che il sistema completo, determinato dalle equazioni (E), 

 o coincide collo (C) del § 5, o comprende il gruppo delle (E^ e quindi che ogni 

 congruenza equipotenziale o è rettilinea isotropa, o consta delle traiettorie di un 

 gruppo oo 1 di similitudini. 



Ripassando ai corrispondenti potenziali, risulta che non vi hanno altri tipi di 

 potenziali binari reali, oltre quelli considerati a § 2, 5. 



§ 9. 



Classificazione delle equazioni, che definiscono i potenziali binari. 



Una osservazione immediata si è che i potenziali conici rientrano nel tipo loga- 

 ritmico, o, se vogliam dire, isotropo. Per constatarlo, basta moltiplicare 



4 u = J ^— senp! -v — l -i = —5- = 



senp, (dpt \ dPi / J ' sen 2 p, bp\ 



per sen'pi, e sostituire — — a Pi. 

 f . J senp, 



Ancora si dimostra subito che, in 



il parametro in è inessenziale. 



Infatti, essendo per la definizione stessa di potenziale elicoidale, m > 0, potremo 



sostituire, alle variabili Pi e p 2 , — , —, con che la precedente equazione diviene: 



_L_Ì_/ D ^L.) ±[14. l ) d ' 2u — Q 



p, d Pl l Pi dpJ + i 1 + aJ d P \- u 



e corrisponde alla Q'^u = 0, fattovi m = 1 ; la si designerà semplicemente con 3 « = 0. 

 Avremo così da confrontare le equazioni: 



l «=O, 2 w — 0, Q 3 u — 0, 0' m >« = O, 



per il che giova ricorrere al procedimento, esposto dal sig. Cotton nella Nota citata. 

 Eccolo in due parole. 

 Data una equazione del secondo ordine, scriviamola, come è sempre lecito : 



2 

 (45) Ayu + 2 JV> -^- + cu = , 



il parametro riferendosi ad una certa forma 



2 



cp=V a„dp r dp s . 



Jmm^rS 



