l :, > ii i.i.io i.i.vi-i -ivi i a 



si li notazioni essendo manifèste): 



iVj, obi 

 ti àp, JPi 





L'annullarsi simultaneo di II e K caratterizza lo equazioni riducibili alla forma 

 di Laplace (0jM = 0). 



Per K diverso da zero, gli invarianti della proposta equazione sono tutti e sol- 

 tanto quelli del sistema, costituito dalla forma differonziale : 



cp = K y t a„ dx r dx, 

 e dalla funzione: 



v *• 



K - 



Ne viene in particolare che le equazioni, per cui H si annulla (equazioni ad 

 invarianti eguali), si classificano come le forme binarie. Manifestamente poi, essendo 



IT 



- un invariante assoluto, si può a priori escludere la trasformabilità di due equa- 

 zioni, se H si annulla per una di esse e non per l'altra. 



Applichiamo questi criteri alle nostre equazioni e cominciamo perciò col ridurle 

 alla forma (45). 



E facile verificare che si ha: 



e 2 u — Acpu + 2 -g^- -|^- ^= , (<p •= dp\ -f dpi) ; 



ermi a ■ e-, ( 1 Òm i senp 2 cosp, òu ) n I sen 2 p 2 701 2 7~2^ 



i v f 2Pi òp, ' 2p s 1 (»» s +setì?()s) dp 2 ) ' \ m : +sen% ri ' ri rz / 



Per le prime due equazioni, H è nullo e K vale rispettivamente — ■7-y- , 



vi+p 7 , a , p 2 . i 1 p a i i-'/ 4 p 3 , 



Pi a Pl ( w+p\?« , "*" 4(1 j-p 2 ,) 2 — (i+p 2 ,) 2 • 



Dacché K è diverso da zero, siamo intanto fatti certi che le due equazioni non 

 si possono ricondurre alla forma 0jw = 0. 



Per evitare ambiguità, accentiamo le lettere, relative a Q 3 u. Le forme da con- 

 frontare sono: 



<i> = — -£fi (dPÌ + dpV) , 



-/ 1 — '/< P' a i / ^/a 1 P''I ,7-/2 \ 



