47 TIPI DI POTENZIALI CHE SI POSSONO FAR DIPENDERE DA DUE SOLE COORDINATE 151 



di curvature rispettive ( 1 ): 

 & = 2p!^- log (^-)=4, 



5 , 15 19 ,„ . 7 „ 1 ,. 



p'- _ (1+p'M* a ( 1 + p' 3 , d / p' 1 Vi-'/ tP '» t \j_ t--tp ' + tp"'-T6-p ' 



Pid-'/tP' 2 ,) dp\\ yr^v^ dp-, l (i+pv« n~ u-'Ap 2 ,) 3 



la prima costante e la seconda no. 



Se ne inferisce che le corrispondenti equazioni non sono trasformabili l'una nel- 

 l'altra. 



Veniamo alle equazioni Q l ™ ] u = 0, (m > 0). Si ha: 

 i 



b<" = ~ , jw 



senp 2 cosp 2 



2 pi ' 2p s ,(»i !1 +seii 1 W ' 



i _ yn'-'p 2 , p senp 2 cosp g 



1 ~" 2p 1 (m'+sen 2 p ! ) ' 2— 2(m 2 + 3en J p 2 ) ' 



donde: 



tt ___ V^+sen'Pa 9&i __ w 2 eosp 2 



Pisenp 2 d Pz p 2 ,(»i°-+sen 2 p 2 ) 5 /2 



„ V W i J +sen s p 2 JL / sen 2 p 2 cosp 2 ^ . 1 ( sen 2 p 3 . sen 2 p 2 cos-p 2 1 __ 



K ~ 2p,senp 2 d Pa ' Pi (»" 2 -|- sen 2 p 2 ) % j "^ 4p a i '( m a +sen a p 2 "^ (m 3 +sen 5 p 2 ) 2 ) 



4»»* — (1 -f- 5in 8 ) sen e p 2 



4p 2 i(»K 2 +sen 2 p 2 ) 2 - ^ 



H non si annulla più identicamente, quindi questo tipo è distinto dai precedenti. 



Besta da vedere se il parametro m è essenziale, cioè se sono trasformabili due 

 equazioni ejr'w = 0, Q'^u = {m, m' > 0). 



Si dovrebbe avere in tal caso, adoperando, per ciò che si riferisce a Qf>u, let- 

 tere accentate: 



h _ ir 



"K — K' ' 

 ossia : 



tip\ 4m 2 cosp 2 y»» 8 -|-~seir ! p 2 4i»" 2 cosp' 2 Vm' 2 -(-senV2 



*■ ' im 2 — (l + 5m')sen s p 2 — 4m* — (l + 5m' 2 )senV 2 ' 



e inoltre sarebbero equivalenti le due forme: 



m — 4ot 2 -(1+5?w 2 ) sen^ ( sen 2 p 2 , .' , , jrf ) 

 9 - 4p 2 ,(»,' + S en 2 p 2 ) ì ^+sen 2 p 2 ^ Pl + Mp2 \ ' 



*'= ^TfW' i ,r V '- dp'f+p'idpll. 

 4p 2 i(w + sen 2 p 2 ) < »(*+sen 2 p 2 ' ' l ' 



Dico che da queste ipotesi segue necessariamente m = m'. 



Per riconoscerlo senza troppi calcoli, osserviamo anzitutto che al valore zero 

 di cos p 2 deve corrispondere, in virtù della (46), tale valore di p' 2 , per cui o cos p' 2 = 0, 

 o m' 9 - + sen 2 p' 2 = 0. 



Infatti, quando si annulla cos p 2 , deve annullarsi del pari il secondo membro 

 della (46).. Ora il denominatore non può diventare infinito per valori reali di p' 2 , e, 



(') Cfr. per es. Bianchi, Lezioni di geometrìa differenziale, pag. 67. 



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