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. al. .i'i complessi, diviene infinito in pari tempo il numeratore, enza ohe sia zero 



il limite del loro rapporto i elio ha il valore / 



Deve dunque annullarsi ii numeratore, cioè cosp'a ovvero m'* -f- sen* p'j. 

 Per togliere l'ambiguità, consideriamo la relazione <.' — <■'. Si ha: 



G = - 



.__ '' ì | Vm'+sen'p, òi seno, il; ffl ._ (1 , Wta ..\j 



Prf4»»-(H enWdpAìfW jj 5»Wpi «PiU 1 ■■■ ,■■'* ll + " w ; e " P V< 



e una espressione analoga per G'. 



11 valore di (i por cos p* = si ottiene chiaramente, eseguendo la derivazione 

 interna, con cho apparisco un fattore cospg, derivando soltanto questo fattore e 

 ponendo poi sen 2 p 2 = l. Ciò dà: 



(G)co, Gl =o = - 8 + T ^ ? - 20 m l , 



che, per m diverso da±i, è una quantità finita. 



Quanto a G', per m' 2 -\- sen 2 p' 2 = 0, esso diverrebbe infinito, come si vede subito. 

 Non si possono dunque corrispondere cos p 2 = e m' 2 -f- sen 2 p' 2 = 0. 



Avremo così: 



(tr) C ofg 1 =0 = (G )co9@'«=0 , 



ossia: 



bnr = -r . ,„ — 5?»'- , 



1 + m 2 """ 1+m- 



che può essere scritta: 



(47) j 5 + ,., , * , , 2 , | (m 2 - m' 2 ) = 0. 



J ( ' (l-r-m 2 )(l-r-m 2 ) S v ' 



Siccome in ed m' sono positivi i 1 ), se ne trae wi = m', giusta l'asserto. 



Riassumendo, possiamo concludere: 



Le equazioni non ulteriormente riducibili, che definiscono potenziali binari reali, sono: 



lM = O; 2 w = O; 8 tt = O; Q'^hi = 0, (m > 0), 



fZore « diversi valori di m caratterizzano tipi distinti. 



(') Si prova facilmente che, anche senza questa restrizione, due equazioni 3 ,m '« = O, 05 ,m ')« = O 

 sono sempre irriducibili quando m? =#=»»'*. 



Infatti, per due equazioni, supposte trasformabili, si corrispondono (escluso al più il caso 

 m = -hiì i valori cosp 2 =0, cosp' 2 = e quindi, assieme alla (47), si ha: 



\ 1 t Jt I cosgj=0 ' 1 ^ K. ' cosg' s =0 

 il che porse: 



S '2 



•Vl+;» 2 Vf + m' 2 ' 



od anche : 



) m 3 m'» + to' 1 + m' J { (m 2 — to' 2 ) = 0. 



Questa equazione e la (47) non ammettono altra soluzione comune all' infuori di m*=m' 3 . Se 

 poi m = + i. deve essere necessariamente anche »»' = + *, poiché in caso diverso riuscirebbe finito 

 (G')cosg' 2 =o , mentre (G)cosg.j=o e {G)m°-+sntfQ?=o diventano entrambi infiniti. 



