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numero gli assiomi e i postulati, senza i indio di sorta, generalmente parlando, 



a definire col minor numero possibile d'idee fondamentali tutti gli enti che 

 occorrono alla trattazion deduttiva: e a questo modo il vantaggio, ohe si acquistò 

 per un lato, si potò bene sposso perder dall'altro; stante il numero e la qualità 

 delle ideo primitive a cui sì volle raccomandato il sistema (*). 



Fra gli studi vólti a comporre la scienza delle figure in sistema ipotetico-dedut- 

 tivo, sia qui ricordata innanzi tutto l'opera " Vorlensungen Uber neuere Geometrie „ 

 di M. Pasce (Leipzig, Teubner, 1882) che segna come il principio d'un rinnovato 

 ordine d'idee circa i fondamenti della Geometria: opera veramente ispirata al pro- 

 posito di far la Geometria tutta quanta partecipe della chiarezza e perfezion dedut- 

 tiva, e di quella forma quasi cristallina, che abbiam sott'occhio nell'Aritmetica. I 

 concetti primitivi del Pasch sono quattro: il " punto „, la relazione del u giacer 

 fra due punti „ (vale a dire il segmento, quale si offre nella Geometria di Euclide 

 e di Lobatschefskij) la " superficie piana „, o porzione di piano, e la relazione 

 di " congruenza ., fra due figure. Questo sistema, come edifizio logico, rientra per 

 ogni parte in quello che sarà oggetto del presente Saggio (**). 



I principi del Pasch furono poscia analizzati da G. Peano con lo strumento della 

 Logica Algebrica; indi riprodotti in gran parte da Questi, con ragguardevoli modi- 

 ficazioni di sostanza e di forma, nelle memorie sui " Principi di Geometria logica- 

 mente esposti „ (Torino, Fratelli Bocca, 1889) e " Sui fondamenti della Geometria „ 

 (Rivista di Matem a , t. IV, Torino, 1894). Quivi le idee primitive si riducono a tre 

 solamente, che sono il punto, il segmento ed il moto: trovandosi definito for- 

 malmente il piano (non ohe la retta) per via del segmento e del punto; ed avendo 

 l'A. preferito il concetto di " moto ,,, come speciale trasformazione dei punti in punti, 

 a quello di " figure congruenti „ , che appena se ne distingue, logicamente parlando ; 

 ma il primo è forse più maneggevole a scopi deduttivi. Anche il sistema del pro- 

 fessore G. Peano si può ricavare dal nostro; voglio dir gli enti primitivi ed assiomi 

 di quello dagli enti primitivi e i postulati di questo. 



inteso da molti in senso più lato : perciò diremo che i concetti primitivi non sian definiti " altri- 

 menti che per postulati,. Questi ultimi invero attribuiscono a quelli talune proprietà sufficienti 

 a qualificarli, in ordine ai fini deduttivi che si voglion raggiungere. E per cansare ogni equivoco si 

 userà il termine " definizione in senso stretto „, o " definizione nominale ,, quando si voglia 

 escluder la definizione "reale, o "di cosa,. — Le idee primitive sor forse paragonabili alle 

 materie prime dell'industria; come le proposizioni primitive alle macchine semplici. 



(*) Così, benché fuor d'ogni dubbio per esempi anteriori la possibilità di svolgere tutto quanto 

 il materiale geometrico ordinario da tre sole nozioni fondamentali, relativamente assai semplici, 

 quali ad es. il punto, il segmento ed il moto (Pasch, Peano, ecc.) abbiam visto pur non ha 

 guari proporre a questo medesimo ufficio di " Grundbegriffe der Geometrie , niente meno 

 che le nozioni di Corpo rigido, Parie di- un corpo, Spazio, Parte di uno spazio, Occupare uno spazio. 

 Tempo, Quiete, Movimento (Wilh. Killing nell'opera " Einfilhrung in die Grundlagen der Geometrie , 



— Padeborn, 1898 — Voi. 2°, pag. 227). Vien fatto qui di pensare alle " ...Ausdrtìcke, welche durch 

 ungesunde Einflusse in die Mathematik hineingetragen, einen Ruckschritt darstellen, der seiner 

 Uebenvindung grosse Zàhigk«it eatgegensetz. Ich nenne nur Begriffe wie Raum und Dimension „ 

 (M. Pasch, Akad. Festrede, Giessen 1894, s. 12). 



('*) A cagione che tali idee primitive sono per definirsi (nominalmente) a spese del " punto , 

 e della *■ trasformazione di moto „ — sole categorie geometriche riconosciute dal nostro si- 

 stema — e che ci è possibil dedurre dalle proposizioni primitive di questo tutti gli assiomi del Pasch. 



— Ma, pur facendo astrazione da ogni principio di continuità, mi resta ancor da vedere se, 

 viceversa, quelle proposizioni primitive sian conseguenza di questi assiomi. 



