3 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 175 



Il sistema, che or si offre al giudizio del pubblico, non ammette che due sole 

 idee prime: il punto ed il moto; quest'ultimo inteso come rappresentazione dei 

 punti in punti, e lungi da ogni qualunque significato meccanico. Oltre di ciò, l'a. si 

 lusinga di ravvisare in tutto l'insieme un andamento più facile, ed un maggior grado 

 di semplicità reale in confronto dei precedenti sistemi; da farne insino sperare una 

 qualche riforma degli Elementi dì Geometria per le scuole, secondo i principi qui 

 esposti, od altri poco dissimili. E veramente, s'io non mi inganno, il contenuto di 

 questo Saggio manifesta fin d'ora un tal grado di semplicità deduttiva, da potersene 

 avvantaggiare senz'altro anche i sistemi didattici. Così potesse affrettarsi la solu- 

 zione di quel " problema dell'insegnamento geometrico ,,, ch'è oramai nel pensiero 

 di tutti; o per lo meno di quanti, amando ed insegnando coscienziosamente la Geo- 

 metria elementare, ne conoscon pur troppo le molteplici imperfezioni deduttive, e le 

 immense difficoltà che s'incontrano a volerle superare o rimuovere (*). 



Anzi l'idea di conferire in qualche maniera all'incremento didattico della Geo- 

 metria mi consigliò di abbandonare una strada, che nell'ordine speculativo sarebbe 

 forse migliore. Alludo all'avere scelto il " moto „ come concetto fondamentale 

 o primitivo. Un mezzo conveniente ad escluder dai principi della Geometria 

 qualunque nozione di moto (facendone in somma un concetto derivato e composto) 

 sarebbe quello di definir la congruenza delle figure mediante la nozione più 

 generale di " omografia „ : la quale potrebbe fungere essa medesima da ente pri- 

 mitivo (**) ; oppur generarsi, alla maniera di Statjdt per es., come prodotto di 

 altre nozioni geometrico-projettive, le quali invero posson ridursi a d u e sole (***) : e 

 operando nel resto a tenor dei procedimenti analitico-geometrici di A. Cayley e 

 F. Klein, che sotto specie di determinazioni metrico-projettive riproducono in veste 

 analitica tutte quante le proprietà dei moti, sì euclidèi che non euclidèi, considerati 

 come rappresentazioni dei punti in punti (****). Ma ognun vede quanto poco si rac- 

 comandi una riforma di sì gran conseguenza, che porterebbe senz'altro a premettere 



(*) Una riforma della Geometria Elementare, con intento d'istituirla a ino' di scienza puramente 

 deduttiva e senza troppo scostarsi dagli " Elementi d'Euclide „, sembra pggimai per molti indizi 

 effettivamente matura ; e ci sarà forse stimolo ad altre ricerche più minute ed intrinseche. — Da 

 gran tempo si disputa se la Geometria elementare debba aversi, o' no, quale scienza ipotetica, e 

 di sola ragione (Vedi, p. es., F. Masci, " Sulla natura delle conoscenze matematiche „, in Filosofia delle 

 Scuole Italiane, voi. XXXII, 1885, §§ III e IV ). A me par che sia sempre per esser come noi la 

 tacciamo : e che se per anco non è istituita in qualità di dottrina puramente deduttiva (di 

 scienza, cioè, del possibile, anzi che del reale) potrà nondimeno ricevere prima o poi cotal 

 forma; e che nulla in essa ripugni da cotesta evoluzione, alla quale anzi sembrano propria- 

 mente avviate le scienze che progrediscono ; ma la Geometria si dee riconoscer più prossima di 

 qualunque altra allo scopo. Ved. in proposito l'Introduzione all' " Essai sur la dassification des 

 sciences „ par Edm. Goblot (Biblioth. de philos. contemp., Paris, F. Alcan, 1898). — Né mancano 

 indizi per dubitare che anche il disegno delle " Caracteristica geometrica „ del Leibniz abbracciasse 

 l'idea di un sistema ipotetico-deduttivo come noi l'intendiamo, o presso a poco. Cfr. M. Cantor, 

 Geschischte der ìfathematiJc, Bd. Ili , s. 31-35. 



(**) Per es. a qnel modo che si dichiara in una mia nota dei Rendic. Istit. Lomb., voi. XXXI 2 , 1898. 



(***) Come da' miei " Principi della Geometria di Posizione composti in sistema logico-deduttivo , — 

 nelle Memorie dell'Acc. delle Scienze di Torino, voi. XLVIII 2 (1898). 



(****) Philos. Transactions, voi. CXLIX, e Mathem. Annalen, voi. IV e VI ; ecc. Circa il modo 

 di ridurre i concetti del Cayley a forma esclusivamente geometrica, ved. anche Joh. Thomae, Die 

 Kegelschnitte in rein projectiver Behandlung, Halle, L. Nebert, 1894, s. 160-172. 



