7 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 179 



POSTULATO 1°. 



PI. Il " punto ,, ed il " moto ,, — " TT „ ed " M „ — sono idee generali, o 

 classi. 

 Val quanto dire che " i termini grammaticali punto e moto son nomi comuni „. 



POSTULATI II e III . 



P2. Esiste almeno un punto. E se p è un punto, esisterà tuttavia un qualche 

 punto diverso da p. 



L'uso deduttivo di questi tre principi è assai scarso. Molti stimano che il 1° e 

 il II siano premesse logiche, più che geometriche; e quanto al III non prefe- 

 riscono il dichiararlo fra i postulati all' introdurlo volta per volta in forma 

 condizionale sotto le ipotesi dei pochi teoremi che ne dipendono. 



Di molta importanza è l'intendersi circa il senso delle parole " punti eguali, 

 o diversi „. Se^j è un punto, diciamo " eguale a p „, o " coincidente con p „ 

 ciascun punto, il quale appartenga ad ogni figura contenente p. E per " figura „ 

 s'intende qualunque classe, o varietà, di punti. L'eguaglianza dei punti così 

 definita è un'eguaglianza relativa; la quale per altro coinvolge l'eguaglianza 

 assoluta, o identità di concetti: di guisa che due punti eguali secondo 

 la definizione predetta, cioè rispetto alla classe dei punti, saranno eguali 

 eziandio rispetto a qualsivoglia attributo o contrassegno logico. Così è dal mo- 

 mento, che ogni qualità spettante all'un de' due punti si riflette sopra una 

 classe di punti, che tutti l'hanno in comune (*). E ad essa eguaglianza compe- 

 tono senza alcun dubbio la proprietà riflessiva, transitiva, e conversiva 

 o simmetrica (**). 



Anzi che " i punti a e b non coincidono „ si dirà spesso " a e b son diversi, 

 o distinti fra loro „ . E dicendosi che " i punti a, b, e, . . . son distìnti „ si vuol 

 escluder senz'altro che due di essi coincidano. — Si osservi che neanche il ter- 

 mine " figura „ è inteso da tutti nel senso dichiarato poc'anzi; e che se avremo 

 da considerar dei sistemi di rette, di piani, o di sfere, ecc., non come classi di 

 classi di punti, ma come classi semplici, bisognerà distinguerli con altro nome, 

 anziché chiamarli semplicemente figure. — Il dire che una figura q> " sia con- 

 tenuta, o giaccia „ in un'altra i)J — (<P0MJ) — vai quanto affermare che ogni 

 punto di qp spetti anche a ijj. Se inoltre ogni punto di vl» sarà un punto di cp, allora 

 soltanto le due figure si diranno " eguali fra loro, o coincidenti „ (qp = tp). 

 — Dalla PI consegue che " punto „ è il medesimo di " classe dei punti „: 

 sicché TT sarà una figura; anzi la massima figura, però che ogni altra è conte- 

 nuta in questa. Il termine " lo spazio „ si può qui facilmente evitare, in quanto'' 

 che viene ad esser sinonimo del " punto „, ossia di " TT „. Ecc. ('***). 



(*) Come rileva il prof. C. Burali. 



(**) Per maggiori ragguagli cfr. ad es. * I principi della Geom. di Posiz., ecc. ,, loc. cit., § 1. 



(***) Ved. Peano, Sui fond> d,* GeomS, loc. cit., pag. 52. 



