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POSTULATO IV». 



P3. Qualunque moto è trasformazione isomorfa dei punti in punti: vale 

 a dire subordina a ciascun punto un punto, e ad ogni coppia di punti distinti 

 unii coppia di punti distinti. — Dunque ogni moto è rappresentazione 

 della classe " punto „ sopra sé stessa, ed agisce sopra ogni punto (opera in 

 tutto lo spazio). 



11 " moto „ è pertanto individuo della categoria che va sotto i nomi di 

 * funzione „, " rappresentazione „, " trasformazione „, ecc. Una rap- 

 presentazione, sia p. e. p, congiunge sempre due classi k e k', di cui l'una, 

 k', è immagin dell'altra; cioè la rispecchia secondo una legge data a piacere: 

 dimodoché ciascun individuo di k richiami un certo individuo di k' . Si sottin- 

 tende che da un individuo dato ad arbitrio nella classe k, o da più individui 

 eguali fra loro in questa (come sarebber più punti coincidenti nella classe TT) 

 la nostra mente sia portata (in forza di p) sopra un solo individuo di A-', o sopra 

 individui tutti eguali fra loro (univocità): ma la facoltà d'invertire o permutar 

 le due classi fra loro (reciprocità) non è presupposta. Una rappresentazione di 

 k su k' e detta isomorfa o simile (ah ni i eh), se non potrà subordinare individui 

 eguali fra loro in k' ad individui non eguali fra loro in k; cioè se individui 

 diseguali in k abbiano sempre immagini diseguali in k'. Tale pertanto il moto 

 (P3), come trasformazione di TT in TT; ecc. 



Se dunque u sia rappresentazione dei punti in punti — p. e. un moto — ed 

 a un punto arbitrario, 1' " immagine di a secondo u „ — o, come più spesso si 

 dice, il " trasformato di a per u „ — sarà eziandio un punto, da chiamarsi 

 " \xa „. Similmente, essendo u qualche figura, 1' " immagine di u per u „ sarà 

 eziandio una figura, che possiamo indicar con " uw „ (*). E così dalla scrit- 

 tura u({$;£::) — dove a, b, . . . p, q, . . . siano punti o figure, u un moto, si potrà 

 senza più rilevare che il moto u rappresenti a con p, b con q, . . . ecc. ; la qual 

 cosa verrà talvolta significata per la frase * p,q, . . . son le posizioni di a, b, . . . 

 dopo u „. 



POSTULATO V°. 



P4. Qualunque sia il moto u, esiste anche un moto — detto " inverso di u ,, o 

 " ju 1 „ , o semplicemente " "ju „ — il quale subordina a ciascun punto x un 

 punto, ch'è trasformato in x da u. 



Si osserverà che in virtù di P3 non posson coesister due punti distinti che 

 siano da u. trasformati, si l'un come l'altro, in un medesimo punto x: onde l'im- 

 possibilità di due moti non eguali fra loro, ma sì l'un che l'altro capace di 

 rappresentare qualunque sia punto x in un punto convertito in x da u. (Due 

 rappresentazioni peff, rispecchianti una medesima classe k in un'altra k', diconsi 



(*) Per più estesi ragguagli ved. Peano, " Notations de Logique Mathématique „ (Torino, Bocca, 

 1894), §§ 19-27 ; e Formul. de Math. (op. cit.), t. II, § 1. 



