9 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 181 



eguali (p = o") se le immagini p.r e <Sx d'un medesimo individuo x di k sian 

 sempre uguali fra loro in k'). Sicché — date le P3, 4 — ciascun moto sarà una 

 rappresentazione invertibile, cioè conversiva o reciproca, dei punti in punti 

 (una corrispondenza biunivoca dello spazio con se medesimo): la qual cosa 

 comprende in se sola tutti due i Pstl. IV e V°, e potrebbe farne le veci. 



POSTULATO VI». 



P5. Due moti u e v successivamente eseguiti, l'uno su quel che risulta dal- 

 l'altro, producon lo stesso effetto di un moto, risultante, o prodotto, 

 di quelli. — Insomma * l'operazione (o trasformazione) composta di due moti 

 consecutivi equivale (è uguale) ad un moto „. Se u sia la prima operazion 

 da eseguire e v la seconda, quel terzo moto equivalente alla lor successione 

 s'indicherà con " va „. Non è detto che il moto " vu ■ sia equivalente a " uv „; 

 e però l'ima scrittura non è da confonder con l'altra. Ma dai principi IV e VI 

 risulta che anche la successione di tre o più moti equivale ad un moto; e che 

 quest'operazione composta sarà associativa, come la moltiplicazione ordinaria. 



Coi principi IV , V°, VI , insieme col XII , rimarrà stabilito che i moti costi- 

 tuiscono quel che modernamente si chiama " un gruppo transitivo di tras- 

 formazioni „, nell'accezion più generica. Ma i caratteri peculiari a questo gruppo, 

 e sufficienti a distinguerlo da ogni altra classe congenere di trasformazioni dei 

 punti in punti, saranno affermati compiutamente per mezzo della totalità dei 

 postulati. 



Dai pstl. V° e VI si deduce che, se u e v sono moti, le operazioni juu, vv sono 

 moti ciascun de' quali tiene fermo ogni punto; tali insomma che (ju u) x = x 

 e (vv)# = £ qualunque sia il punto x (onde uu = vv) (*). Una qualunque rap- 

 presentazione, la quale coordini ciascun individuo a se stesso, si chiama per solito 

 una " trasformazione identica „; ed è chiaro che due trasformazioni sì fatte, 

 in ordine alla medesima classe, si equivalgon fra loro. Di qui nasce il teorema 

 " se esiste un moto, qualunque trasformazione identica della classe punto 

 è parimente un moto „. Ci par conveniente il notar come " improprio „ un 

 tal moto, che l'uso non riconosce altrimenti. 



~P6-Df. Sarà qualificato per " effettivo „, o " proprio „, qualunque moto diverso 

 dalla trasformazione identica. — Ovvero : " moto proprio „ = " classe dei moti 

 per ognuno dei quali, sia p. e. u, si può sempre trovare un punto x almeno, che 

 sia trasformato in un altro \xx non coincidente con x „. 



POSTULATO VII . 



P7. Per ogni coppia di punti distinti, esiste almeno un moto proprio che 

 tien fermo sì l'un come l'altro. — Ovvero (P6): " se a, b sono punti, ed 



(*) Non si rifugge dall'usare, in senso più astratto del solito, parole e forme del dire che sve- 

 gliano immagini di cose al tutto materiali ; sempre che non cada alcun dubbio sul valor logico, di 

 cui solamente è quistione.' 



