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a - = b, ci dovranno essere un moto u e un punto x tali, che \xa s=«; \ib = b f 

 M'' "» = »,. 



Si può ravvisar questa proposiziono nel fatto sensibile, che " un corpo è 

 tuttavia capace di muoversi, quantunque fissati due de' suoi punti,,. E il 

 uni vimonto dei corpi rigidi fa sempre dà immagine concreta, intuitiva e 

 pienamente conforme all'ento " M „ : porcile si astragga dal tempo, e l'os- 

 servazione si porti esclusivamente sovra due stati del mobile (posizione ini- 

 ziale e finale) presente la distinzione fra moto proprio ed improprio. 



Dopo il VII" principio si può accertar senza più l'esistenza di un moto 

 proprio, visti i precedenti II" e III . 



POSTULATO Vili». 



P8. Posto che a, b, e siano punti distinti, se esisterà un moto proprio che li 

 rappresenti ciascuno in sé stesso, allora ogni moto che lasci fermi indi- 

 vidualmente a e b terrà fermo anche e. 



jtì questo un principio di molta capacità deduttiva; e perciò tale, da significar 

 condizione assai restrittiva per la classe " TT „. Per esso ci è dato oramai di 

 produrre e di svolger la nozione di " retta „ , e di riconoscerle alcune fra le 

 proprietà più notevoli. 



P9-Zy. " Se a,b,c sono punti, con uno qualunque dei modi: " a, b, e sono " alli- 

 neati, o son collineari, o collimano „ si esprime il giudizio: " esiste un 

 " moto proprio che rappresenta in se stesso ciascuno degli a,b,c „. Il mede- 

 " simo si afferma eziandio con la scrittura : " (a, b,c) Gì „ . „ 



PIO-TV. " Tre punti a, b, e sono al cei'to collineari, se due qualunque di essi, o tutti 

 " e tre, coincidono. „ [Se b = e, ma a ~ = b, basta richiamarsi al pstl. VII . E 

 se a = b = e, sarem di nuovo con la P7 ; atteso che, in virtù del III principio, 

 si può invocar l'esistenza di un punto b' diverso da «]. — Per tanto " se tre 

 punti a,b,c non collimano, sarà impossibil che due di essi coincidano „. 



P11-2V. " Sono equivalenti i giudizi che " i punti a,b,c non collimano ,, e che 

 " nessun moto, dalla trasformazione identica in fuori, è capace di tener fisso 

 " ciascun punto a,b,c. „ [Il presente tr. si confonde con la P9, in grazia a P6j. 

 Dunque " se tre punti non collineari siano obbligati a star fermi, nessun punto 

 si muoverà di moto effettivo ». 



Emerge di qui che la nostra definizione dei punti collineari non può con- 

 venire alla geometria iper spaziai e. Il principio Vili nemmeno. Ma noi guar- 

 diamo soltanto alla Geometria elementare; cercando quanto si può d'istituirne 

 i principi nel modo più conveniente alla semplicità deduttiva. Per produrre gli 

 spazi superiori bisognerà dunque rinunziare a quel postul e a quella defini- 

 zione (*): precisamente come si dee rinunziare al pstl. delle parallele e all'or- 

 dinaria definizione di queste, ovvero al principio che due rette non posson chiu- 

 dere spazio, per passare alla Geometria Lobatschefskijana, o alla Riemanniana. 



(*) Vedi le osservazioni intorno a P22§3. 



