11 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 183 



P12-Z>/'. '" Pur che. «e b siano punti distinti, la " congiungente a con b „ — che 

 " si richiama con questo segno " ab „ — sarà la classe di tutti que' punti, per 

 " ognuno dei quali, sia p. e. x, si può accertar l'esistenza di un moto che tenga 

 " fermi individualmente a,b,x: dunque la classe de' punti allineati con a e 

 " con b (P9). „ 



P13-2V. " Sotto l'HpP12 i punti a e b spetteranno alla congiungente a con b ; e le 

 |; figure " ab „ e " ba „ coincideranno. „ [La prima parte vien da PIO; la seconda 

 è vera per la simmetria di P12 rispetto a e è.] 



Non ci arrestiamo a segnalar tutti i fatti che derivano immediatamente dal 

 carattere di simmetria della relazione di allineamento: come altresì dalla 

 mutua dipendenza fra questa e la figura di cui si parla in P12. Di tal sorta è 

 p. es. il seguente : 



P14-1V. " Se «, b, e sono punti, a diverso da b, ciascuna delle proposiz' " a,b e e col- 



" limano „, '' e appartiene ad ab „ sarà conseguenza dell'altra. E se inoltre a 



" sia diverso da e, saranno eziandio equivalenti i giudizi " e e ab „, " be.ac „. „ Ecc. 



Se poi facciam valere anche l'VIII principio, otterremo proposiz. 1 di maggior 



peso, come le tre seguenti: 



P15-2V. " Di nuovo essendo a, b punti non coincidenti, la congiungente a con b non 

 " si distingue dal luogo geometrico di tutti i punti che restano in quiete (o tornau 

 " ciascuno in se stesso) per qualunque sia moto che rappresenti a come b su 

 " se stesso (*). „ [Che ciascun punto y di ab (P12) sia convertito in se stesso 

 da qualunque moto u tale che uà = a e u6 = 5, è detto senz'altro in (?)P8. Che 

 poi, viceversa, il giudizio " da ^eTT, veM, va = a, vb = b si deduce, qualunque 

 sia v, che vz = z „ tragga seco necessariamente anche l'altro " zeab „, questo 

 è un fatto che emerge dal pstl. VII : però che il moto proprio ivi ammesso per 

 esistente dovrà tener fermo anche z. Presente ancor la P12, com'è naturale.] 



P16-2V. ' Esiston tre punti non collineari a, b, e. E qualunque siano i punti a e b, 

 " purché non coincidenti, esisterà un punto almeno fuor della congiungente a 

 " con b. „ [Dati i princ 1 II , III e VII , dovrà esister al certo una coppia di 

 punti distinti a e b, e un moto proprio u per cui \xa = a e \xb = b; dunque (P6) 

 anche un punto e tale, che uc ~ = e. Ora un moto proprio che tenga fermo 

 ciascun punto a, b, e non può darsi; giacché, se esistesse, dovremmo a tenor 

 dell' VIII princ. inferirne \xc = e. Dunque è forza (P9) che i punti a,b, e non 

 siano allineati. Ecc.] 



P17-IV. " Premesso che a e b sono punti, a diverso da b, se avvien che e e d siano 

 " punti della congiungente a con b, purché non coincidenti, le figure ab e cai 

 " coincideranno. ., [Per Hp abbiamo (in virtù di P8 e P12) che ogni moto, il 

 quale rappresenti in se stesso tanto a quanto b, terrà in quiete anche i punti 



(*) Ai fatti considerati nelle P12 e 15 sembra appellarsi anche Leibniz per la definizion della 

 retta. " Sit corpus aliquod, cuius duo putida sint immota et fixa, ipsum autem corpus niliilominus 

 moveatur, fune omnia puncta corporis quiescentia incident in rectam, quae per dito pància fisca transit „ 

 (Leibnizens rnath. Schriften herausg. von C. J. Gerhakt, Bd. V, s. 147). 



