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e e </. Pertanto il supporrò x€ab coinvolgerà (P12) l'esistenza d'un moto proprio 



che converta in so stesso ciascuno dei punti e, il, v. Sicché dalla proposiziono 

 " xeab „ si deduce che " xted „ , e in particolare che i punti a e b sono in ed: 

 e però noi modo stesso, attraverso la sostituzione (X'fi'X',), deve accadere clic da 

 " ijecd „ si deduca " yeab „. Ciò cho in somma vai quanto dire: dall' Hp con- 

 segue ab = ed]. 



VIQ-Df. " Si dà il nome generico di " retta , alla congiungente due punti distinti, 

 " qualunquo essi siano. „ — Ovvero: " retta i; la classe di tutte le congiun- 

 genti possibili „. Dir che "rè una retta „ vai quanto affermare eh' " esiston 

 due punti non coincidenti aeb, ed r è, sotto altro nome, la congiungente ab 

 di questi „. 



Il tr. precedente non differisce da quel che si enuncia comunemente dicendo: 

 " per due punti dati non passa più d'una retta „ ; a una retta è individuata 

 da due qualunque de' suoi punti „ ; ecc. 



Tutte quante le figure e le relazioni geometriche, onde si parla in questo 

 Saggio, sono invarianti e covarianti rispetto al moto: e cioè per effetto 

 d'un moto si convertono in altre dello stesso nome generico; i punti in punti, 

 le rette in rette, le sfere in sfere, i segmenti in segmenti, le rette perpendi- 

 colari in rette perpendicolari, i triangoli in triangoli, e via dicendo. Cosi p. es.: 



P19-7V. " Se a, b siano punti dati a piacere, sol che distinti, e u sia un moto arbi- 

 " trario, la figura ab trasformata di u diverrà la congiungente i punti u« e uè: 

 " sicché n(ab) = (ua)(u£). „ [Sia x un ab; e pongasi a' = uà, b' = u£, x = ux. 

 Per certo a' e b' saranno punti non coincidenti (P3). Dico che x'ea'b'. Facciasi 

 intervenire un moto proprio v, per cui va' — a' e ve' = b'(P7): l'operazione 

 composta uvu, prodotto dei moti (i,veji, sarà eziandio un moto (P4-5), tale 

 ancora che (^vu)a = (JLiv)a' = ]Ia' = a, e similmente (|uvu)è = è; ond'è forza 

 che (uvu).*» = x (P15). Dunque abbiamo che (ov)a;' = x; vale a dire (moltipli- 

 cando a sinistra per u) vx' = \xx; dunque vx' = x' ; e pertanto esisterà un moto 

 proprio v che tien fermi ad un tempo tutti e tre i punti a', b', x' : il che è quanto 

 affermar la proposizione x'ea'b'. Viceversa il supporre " y'ea'b' „ trae con se 

 " ]!?/'€ ab „ ; potendosi ovunque sostituire gli a', b', a, b, ]x, ij agli a, b, a', b', \i,x, 

 dal momento che \xa' ==a, ]ib' = è.] 



P20-Z>/\ " Dati tre punti non collineari a, b, e, si chiamerà " piano abe „ — o sem- 

 " plicemente " ab e „ — la figura occupata da tutte le rette che uniscono il 

 " punto a coi vari punti della bc, o il punto b coi punti della ca, o il punto e 

 " con quelli di ab. „ — Ancora: " sotto la stessa Hp, un punto x dicesi apparte- 

 nere al piano abe qualunque volta esso coincida con uno degli a, b, e , oppur la 

 congiungente a con x incontri bc, o s'incontrino le bx ed. ac, o le ex ed ab „ — 

 Osservate che quell'Hp " (a, b, e) ~ CI „ farà che i punti a, b, e sian distinti (PIO), 

 e che niuno appartenga alla congiungente degli altri due (P14). 



Questa defin. e di un piano (non molto dissimile a quella del " piano proiet- 

 tivo „ che si attribuisce al Riemann) trovasi come teorema in M. Pasch, loc. 

 cit., pag. 25-26. Essa conviene del pari ad ognuno dei tre sistemi di Geometria, 

 che si distinguono per le qualifiche di iperbolico o Lobatschefskiano, 



