13 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 185 



parabolico ovvero Euclidèo, ellittico di seconda specie o Kleiniano. 

 Ma l'ultimo di questi è già escluso dall'VIII principio ; laddove tutte quante le 

 propos.' di questo Saggio si accordano perfettamente coi primi. 



P21-1V. " Sempre che a, b, e siano punti non allineati, le rette ab, ac, bc giaceranno 

 " sul piano abe ; e questo coinciderà con ciascuno dei piani acb, bac, bea, cab, cba. „ 



P22-7V. " E dato un moto u, la figura in cui si trasforma il piano abe sarà nuova- 

 " mente un piano anzi il piano dei punti \ia,\xb,\\c, per certo non collineari. 

 " Insomma \x(abc) = (ua)(uè)(u e). Cfr. P19. „ 



Ma dalle premesse I-VIII non par che discenda una proposiz. e sui piani, pari 

 a quella che si ha per la retta in PI 7. Per ciò si propone il seguente: 



POSTULATO IX . 



P23. Se a, b, e siano punti non collineari e d un punto della retta bc , diverso 

 però da b, tutto il piano abd sarà contenuto dal piano abe. Dunque (poiché 

 dall'ipotesi nasce — in virtù di PIO, 13, 14, 17 — che e appartiene a bd e che 

 a, b, d non collimano) anche il piano abe sarà contenuto dal piano abd ; per la 

 qual cosa i piani abe e abd coincideranno. 



P24-ZV. " Purché' a, b, e siano punti non collineari e d un punto della figura abe, 

 " non però della ab, i due piani abe e abd coincideranno. „ [Se d giace in ac o 

 in bc, potremo ridurci, come dianzi, al pstl. IX , visto anche la P21. Se no, le 

 rette ad e bc, oppure le bd e ca, oppur le ed e ab s'incontreranno in un punto 

 diverso dai preced. 1 a, b, e, d (P20, etc). Ora dal fatto che il punto e sia p. es. 

 comune alle bc ed ad si deduce abe = abe (P23), indi per egual modo abe = abd. 

 E cosi dal supporre fé ca <-> bd si conclude (sempre in virtù dello stesso principio) 

 che abc = abf e abf=abd; ecc.: sicché in ogni caso abe = abd.] 



P25-7V. " Se a,b,c siano punti, non collineari, poscia d, e punti del piano abe, non 

 " però allineati con a, sarà giocoforza che il piano ade coincida col piano abe. „ 

 [Per l'Hp 6~ = a, d~ = e (PIO) ; né può darsi che siano ad un tempo collineari 

 (a,b,d) e (a, b, e), in presenza delle P13, 14, 17. Se dunque poniamo che (a,b,d)~C\, 

 sarà (per le P21, 24) abe = abd, abd = adb, per cons. a e e adb, adb = ade (P24) : 

 onde abe = ade. Il medesimo, se si suppone che (a, b, e) ~ CI.] 



P26-2V. " Di nuovo essendo a,b,c punti non collineari; se avvien che tre punti 

 " d, e, f, egualmente non allineati, appartengano al piano abe, bisognerà che i 

 " piani abe, def coincidano. „ — In breve: " due piani, che abbian tre punti non 

 allineati in comune, coincidono „ . [E imposto il trilemma " (a, d, e) ~ CI , od 

 (a, e, f) ~ CI , o (a, d, f) ~ CI „ : però che la sua negazione varrebbe quanto 

 asserir l'esistenza d'un allineamento fra i punti d, e, f, che è contro l'Hp. Ma 

 se p. es. (a, d, e) ~ CI, è forza concludere abe = ade (P25), vale a dire abe = dea 

 (P21), quindi fedea e p. cons. dea = def (P24) : sicché resta provata la coinci- 

 denza di abe con def. Di qui, mediante le sostituzioni (fy, ({$), nasce altresì che 

 l'Hp, combinata con l'una o l'altra delle supposiz.' (a, d, f)~Cì, (a,e,f)~C\, 

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