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richiede abc aguale a dfe, oppure abc uguale a fed, vale a dire abc = def in 

 ogni caso. | 



P27-YV. " Dato che a,b, e sono punti collineari e che d, e punti non coincidenti del 

 " piano ubo, ne viene che la congiungente di questi, ossia la retta de, giace 

 " tutta nel piano abc. „ — Euclide, Lib. 11°, Prp, I" (*). [Non potendo esser 

 collineari ad un tempo i punti d, e, a, i punti d, e, b, e i punti d, e, e (che n'usci- 

 rebbero allineati a, b, e), sian p. e. a, d, e non collineari. Allora coincideranno i 

 piani abc, ade (P25); per la qual cosa de, contenuta nel piano ade (P21), starà 

 dunquo nel piano abc. Ecc.] 



Appresso ne verrà fatto parlare dell'ente generico " piano „, o " classe dei 

 piani „, sottintendendo (è quasi superfluo il dichiararlo) una definiz." simile a 

 quella non ha guari proposta in ordine all'ente " retta _. 



V2S-Df. " Posto che a,b siano punti, il nomo " sfera di b intorno ad a „ — o 

 " sfera b, centro a „ — o, simbolicamente, " b a „ — spetta alla classe dei punti, 

 per " ognuno dei quali esiste un moto che lo porti in b, tenendo a in quiete. „ 

 In altri termini: " dire che e appartenga alla sfera di b intorno a vai quanto 

 affermar l'esistenza di un qualche moto u, per cui uà ■= a, uc = b „ . — Se i 

 punti a e b coincidono, la sfera b centro a si restringe in un punto; anzi è 

 il luogo dei punti che coincidono in a [IV e VII princ. ]. 



P29-2V. " Se a, b sono punti, b appartiene alla sfera b a ; ma, se son punti distinti, 

 " a non vi appartiene „ [IV e VII princ. ]. 



P30-7V. " Ogni volta che a, b, e siano punti e e spettante alla sfera b„, le sfere b a e c a 

 " coincideranno. „ Euclide, Lib. 3°, Prp. V a e VI a [Invero, se x(.b a , vi saranno 

 due moti u, v per cui ua = va = a, uc = £,va;==& (P28); e pertanto esisterà 

 un moto juv (P4, 5) che porta x in e tenendo fermo a: dunque x(.c a (P28). Del 

 pari se yec a vi sarà un moto p che rappresenta ij in e, a in a; sicché la tras- 

 formazione up cangerà y in b, a in a: onde yeij. 



P31-2V. " Dal supporre " a e b sono punti distinti, v è un moto „ si deduce 

 « " \(b a ) = (vè) v0 . „ „ [Sia x un qualunque b a , e pongasi a' = va, b' == ve, x'= vx. 

 Esiste un moto u per cui \xa = a, }ix = b (P28); ed un moto u' = vuv che non 

 altera a' (però che \x'a' = (vuv)(v«) = (vu)a = va = a') nel mentre che porta 

 x' in b' (dal momento che uV=(vUv)(va;)=(v|u).r=vò = è'): dunque x'eb' a -; ecc.]. 

 Emerge dalle ultime due P30, 31 anche l'altra: 



P32-2V. K Ogni moto, che lasci fermo un dato punto a, converte in sé stessa ogni 

 " sfera che sia intorno ad a come centro. „ 



P33-2V. " Se, essendo a, b punti distinti e e un punto arbitrario, le sfere c a e c b non 

 " abbiano un punto comune diverso da e, questo punto e dovrà appartenere alla 

 " congiungente a con b. „ — Euclide, Lib. 3°, Prp. XI a e XII a [Ogni moto che 



(*) Nelle citazioni di Euclide mi riferisco all'edizione dei proff. Betti e Beioschi per le scuole 

 italiane, Firenze, Le Monnier. 1885 (15 a rist.). 



