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" tradotto in l> ihi quel moto. „ |So b' = b non occorron parole. — Se V - = b, 

 sia b" \i.V. Sarà b" un ab diverso da b', poscia che \i{ub) — ab' = ai(P17,19 

 §1), e che sulla ab nessun punto ò tautologo, fatta eccezione di a (P15 § 1). 

 Dunquo in ordine ai moti ueu(P4§l) si può allogare il pstl. XI , secondo il 

 quale dovranno coincidere i punti u// u u//, cioè b" e i.] 



Ter esser b' = u£, e 4" = u 4' = n(u&) = u 2 £, e perché il simile avviene di 

 ciascun punto di ab, si può dir che il quadrato dell'operazione u trasformi 

 in sé stosso qualunque punto di ab; e che dal moto u la retta sia trasformata 

 in volu tori amen te in sé stessa. 



P5-7V. " So a,b,c sono punti collineari, b diverso da e, ed esiste un moto u per- 

 " mutante b con e, ma non alterante a — di guisa che e sia il simmetrico 

 * di b rispetto ad a — qualunque sia moto che trasformi ciascuno de' punti b 

 " e e nell'altro dovrà tener formo a. „ [Dal supporre veM, \b = c, ve = b, si 

 deduce che il moto vu non può alterar b né e. Dunque non altera a, che giace 

 in bc (P14, 15 §1): sicché Vfia — a, vale a dire \a = a.] 



POSTULATO XII . 



P6. Se « e b sono punti distinti, esiste un moto che porta a su b, e converte 

 in se stesso un qualche punto di ab. — È quanto dire (P28 § 1) che " data 

 una coppia di punti distinti a e b, si può sempre trovar nella congiungente a 

 con b un punto tale, che la sfera di b intorno ad esso contenga anche a „ 

 — tale in somma che, rispetto ad esso, a e b riescan punti l'un l'altro simmetrici 

 (P3, 4). Due punti sì fatti nella congiungente a con b non potranno al certo 

 coesistere, se non coincidono (P15 § 1 e P5). Di qui la convenienza d'un nome per 

 quell'unico punto, covariante dei due punti dati a e b. 



Vl-Df. "Se a,b sono punti non coincidenti, quel punto della lor congiungente, che 

 " si distingue da ogni altro punto di questa per ciò che la sfera di b intorno 

 " ad esso contenga anche a, si chiama " punto medio di d,J, — o " centro 

 " della coppia a,b „ — e si può indicar con " a | b „. Ma se i punti a e b 

 " coincidono, quel nome sta per denotare l'uno o l'altro di questi, in maniera 

 " che a \ a = a. „ — Osservate l'eguaglianza di questi giudizi: " e è il punto 

 medio di a, b „, " e è il punto medio di b, a „, " b è il simmetrico di a 

 rispetto a e „, " a è il simmetrico di b rispetto a e „, ecc. E, una volta 

 per sempre, che se i punti a e b son distinti fra loro, anche il lor punto medio 

 a | b sarà distinto da ognuno, di essi. 



P8-2V. " Se intercede fra i punti a, b, e la relazione " e = a I b „ , oppur l'altra 

 " c = "l b „, la medesima si riscontra eziandio fra le posizioni u«, \xb, uc di quei 

 " punti dopo un moto arbitrario u. „ [Pongasi a' = ua, i' = p.6, c' = \ic; e sia 

 p. es. e = a I b. Per certo esisterà (P6, 7) un moto v(^); dunque anche un moto 

 uviu (P4, 5 § 1), il quale tradurrà il punto a' in V lasciando in quiete e': onde e' 

 alla sua volta sarà punto medio di a' e V. Ecc.] 



P9-2V. " Dati i punti non coincidenti a e b, vi sarà sempre un moto che converte 



