17 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 189 



" in se stessa la lor congiungente ab, di maniera che a vada in b e niun punto 

 " della retta stia fermo. „ [Detto e il punto "/», certamente diverso da « e da 

 5(P31; esisteranno due moti u(°$') e v(J;') (P3 ; 4, 6) ; e il prodotto dei due sarà 

 un nuovo moto Vfi(^ÌJ) (P5, 19 § 1). Né alcun punto x della «i potrà esser tau- 

 tologo rispetto a vu: perché, a voler vu.r = x, bisogna concedere che la sfera x b 

 passi ad un tempo per a,b e e (P28-29 § 1), contrariamente a P2.] 



A tal sorta di moti si addice il nome di scorrimenti della retta in sé 

 stessa: come il nome di ribaltamento (della retta sopra sé stessa) a 

 tutti quelli onde si parla nelle precedenti Pl-7. 



PIO-TV. " Dati ancora due punti distinti a e b; se avvien che un moto v sostituisca 

 u a con b, e b con un qualche punto di ab diverso da b, ne uscirà sempre 

 " \b = °j b e va = 6 / - » [Posto v« = «i (ossia va, = a), vb = b', e detto u un 

 certo moto rispecchiante l'uno nell'altro quei punti a e b (P4, 6), sarà uv un certo 

 moto che traduce a t mb senz'alterare a: per la qual cosa a y = h j a (P3, ecc.). 

 Al modo stesso (p designando un moto, che scambi l'un coll'altro i punti b e b') 

 esisterà un moto p v che porta a in b' non mutando b ; sicché b' = 7&.] 



POSTULATO XLH°. 



Pll. Dati tre punti non collineari a, b, e, deve esistere un moto per cui tanto a, 

 quanto b, sian tautologhi, e e sia condotto in un punto diverso da e, ma 

 appartenente al piano abc. — Un così fatto moto, sia per es. u, è certamente 

 effettivo o proprio (P6 § 1) , e riconduce tutto il piano abc su sé stesso (P24 § 1) ; 

 visto che ]x{abc) = (u«)(uè)(uc) (P22 § 1) e che, per Hp, uà — a,]xb —b, \xctabc~ab 

 (P15 § 1). Perciò diremo talvolta che a cagion di quel moto il piano abc " si 

 rovescia, o ribalta sovra sé stesso, intorno i punti a e b come cardini „. 



P12-IV. " Sempre che a, b, e siano punti non collineari, esiste nel piano abc un qualche 

 " punto diverso da e, eppur comune alle sfere c a e c t . „ [Un moto, qual'è quello 

 di cui si afferma l'esistenza nel Xffl princ. , dovrà convertire ciascuna delle 

 sfere c e c h in sé medesima (P32 § 1), e quindi e in qualche punto comune ad 

 entrambe (P29 § 1).] 



P13-D/". " Un cerchio è la classe dei punti che giacciono sopra una sfera, e al tempo 

 " stesso in un piano che ne contenga il centro. Il qual centro sarà pur centro 

 " del cerchio. „ — Quando non s'incorra in ambiguità, le notazioni come c a e c b 

 denoteranno anche cerchi. Cosi nella predetta P12: " i cerchi c a e c b (nel 

 piano abc) s'incontran per lo meno in un punto diverso da e „. 



POSTULATO XIV°. 



P14. Qualunque volta a, b, e siano punti non allineati, e d, e punti del piano 

 abc comuni ad ambo le sfere c a e e b ma diversi da e, bisognerà che questi 

 punti d ed e coincidano. — Cosicché " se i centri a e è di due sfere sono 

 punti distinti; e le due sfere abbiano un punto in comune, p. e. e, fuor della 



