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congiungente a con b\ i cerchi c„ e e,,, giacenti nel piano abo (P1S), s'incontre- 

 ranno al sicuro in un punto <■' diverso da e (P12), ma non avranno per certo 

 alcun punto comune diverso da e e da e' ,. Euci.h.i:. Lib. 8°, Prp. IX" e X". 



P15-7V. " Se in tre punti non allineati a, l, e si dù il fatto, che e appartenga alla 

 " sfera &„, questa non incontra la retta bc in alcun punto diverso da b e da e. „ 

 — In somma " una retta non può incontrare una sfera in più che due punti 

 distinti „ [Invero se, a tenor del principio XIII", si ribalta il piano abe su sé 

 stesso intorno ice- come cardini, e n'esca «' qua! nuova posizione di a; la 

 sfera b a si trasforma nella &«-(P31 S 1), mentre ogni punto della retta bc sta in 

 riposo: dunque ogni punto comune alle bc e b a , giacendo ad un tempo sulle 

 sfere J, e b„. e sul piano aa'b, dovrà coincider con b o con e (pstl. XIV"). Il 

 discorso vorrebbe che (a, a', ò)~Cl: ma quando pur si supponga bs.au', resterà 

 fuor di dubbio che e ■*■ e aa', dal momento che per Hp (a, b, e) - CI (P14, 

 17 §1): ecc.] 



P16- Tr. " Dati a piacere due punti distinti a, J e un punto e nella lor congiun- 

 " gente ab , le sfere c a e c b non s'incontrano fuori di e. „ Cfr. P33 § 1 . [Il sup- 

 porre che d sia punto comune alle c a , c b ma distinto da e, dunque non appar- 

 tenente ad ab (che se no i punti a e b dovrebber coincidere nel punto e \ d , 

 giusta P5, 7) importa, contrariamente a P14, l'esistenza di tre punti distinti 

 e comuni ad ambo i cerchi c„ e c h del piano abd: vale a dire i punti e, d, più 

 un terzo punto d', immagine del punto d a cagione d'un ribaltamento del piano 

 abd su se stesso, intorno ad a e è come cardini (Pll).] 



P17-TV. " Essendo a, b, e punti non collineari e d \m punto qualunque del piano abe; 

 " se due moti propri uev trasformeranno sì l'uno che l'altro in se stesso il 

 " piano abe, mantenendo sì l'un come l'altro in quiete ciascun punto a e b, sarà 

 " giuocoforza che i punti ud e vd coincidano, e che il punto u(ud) si confonda 

 con d. „ — Cioè " due ribaltamenti del piano abe su sé stesso intorno ai mede- 

 simi punti aeb come cardini (Pll) si equivalgono sempre in ordine al piano abe 

 (sono eguali rappresentazioni del piano abe); e per un sì fatto moto il piano abe 

 si trasforma involontariamente in se stesso „. Cfr. P4 [Dalle P14, 16 nasce 

 che ud = vd: visto che i punti d,\xd,\d, oltre che in abe, si debbon trovare 

 ad un tempo sulle sfere d a e d b (P29, 32 § 1) ; e che il punto d, ove non appartenga 

 ad ab, sarà certamente diverso dagli altri due \xd e vd (Pll, 14 § 1). — Né il punto 

 \id, quando alla sua volta si assoggetti a u, cesserà di appartenere alle sfere 

 d a , d b e al piano abe: quindi, o esso coincide con d e resta fermo (ove d appartenga 

 ad ab), o ritorna in d; perché sul piano abe nessun punto diverso da d e da \xd 

 può giacere ad un tempo nei cerchi d a e d h , ecc.] 



P18-2V. " Sotto la stessa ipotesi, il punto medio fra d e \xd giace sempre in ab. „ 

 [Invero, se d' = \xd e p. cons. ud' = d(P17), quel punto medio d j d', a tenor di 

 PS, sarà convertito in se stesso da u (Pó-7). Ora i punti che non altera u sono 

 tutti in ab, dal momento che u è moto proprio (Pll, 12, 6, § 1, ecc.).] 



P19-D/ 1 . " Supposto che a, b, e siano punti, a diverso da b e da e; allorché si dice " la 

 " coppia (a, o) è perpendicolare alla coppia (a,b) , — o si scrive " (a,c) i (a, b) „ — 



