19 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 191 



" si vuol solamente affermar l'esistenza di un moto, per cui tanto a quanto b 

 " sian tautologhi, e e si muti in un punto diverso da e, ma appartenente alla 

 " retta ca. „ — Dunque (in presenza di P14, 15 § 1 e delle Pll, 18) la propos. 

 " (a, e) jl (a, b) „ sarà equivalente al giudizio: L i punti a,b,c non collimano, e 

 ribaltando il piano abe su sé stesso intorno a e b come cardini, e ricade nella 

 retta ca „. Ed anche al giudizio: " esiste un moto proprio che lascia in quiete 

 i punti a e b, riconducendo la retta ac su se stessa „. 



Qui l'ortogonalità s'introduce in forma di relazione fra tre punti dati e null'altro ; 

 restituita pertanto ne' suoi primi termini e spoglia di tutto il superfluo (di 

 fronte al nostro sistema). Così è nell'indole della Logica algebrica. 



P20-TV. " Dal supporre " a,b,c siano punti non collineari ed (a, e) ± (a, b) „ si deduce 

 " che " il simmetrico di o rispetto ad a giacerà sulla sfera c b „. „ Euclide, Lib. 3°, 

 Prp. HI". [Il ribaltamento del piano abe su se stesso intorno i punti a e b come 

 cardini rappresenta e nel simmetrico rispetto ad a (P3, 19). senza distoglierlo 

 dalla sua sfera intorno a b (P32 § 1).] 



P21-2V. " Viceversa, da " a, b, e sono punti non collineari, e c l a ec b „ si deduce che 

 " " {a, e) J- {a, b) „. „ Euclide, ivi. [Invero i tre punti c, c j a ,^c (u denotando il 

 citato ribaltamento) giaceranno ad un tempo sulle sfere c a e c b e sul piano abe, 

 per la qual cosa c / a coinciderà con \xc (P14).] 



P22-2V. " Se di nuovo a, b, e siano punti non collineari e la coppia (a, e) perpendi- 

 " colare alla (a, b), non si può dar che la sfera di a centro b e la congiungente 

 a con e s'incontrino fuori che in a. „ Euclide, Lib. 3°, Prp. XVI a . [Se esistesse 

 un punto d comune alle a h , ac ma diverso dal punto a — dunque tale che 

 (a, b, d) ~ CI — anche d / a spetterebbe alla sfera a b , grazie a (c)P20. Ma questa 

 coinciderebbe con la d b (P30 § 1) ; sicché i punti distinti d, a e i / a sarebber nella 

 retta da e nella sfera, contrariamente a P15.] 



P23-2V. " Dati i punti non collineari a,b,c e un punto d sulla congiungente a con b; 

 u perché un punto e' giacente nel piano abe sia comune alle sfere e a e c b — dunque 

 " comune ai due cerchi c a e c b di quel piano — dovrà stare eziandio sulla sfera c d . „ 

 [Si tralascia il supporre e' = e. — Se e' ~ = e , l'immagine di e per un moto 

 proprio u(a;6$c), (moto esistente in virtù di Pll) sarà comune esso pure alle 

 sfere c a , c b ed al piano abe: sicché uc = c'(P14). Ma d è tautologo in u: dunque 

 c'ec d (P28§l).] 



P24-IV. " Dall'HpP21, cioè che " a,b, e sono punti non collineari e c l a zc b „ si deduce 

 che " (a, b) a. (a, e) „ . „ [Sia e' = 7» , V = 6 / a » V- il ribaltamento del piano acb su 

 se stesso intorno a e e come cardini. Dimostro che \xb = b'. Invero, detti ancora 

 b" ed m i punti uè e b \ è", si ha da una parte che il punto m appartiene ad ac 

 (P18), e dall'altra che c'è c b , \xc' =c', u(c 6 ) = cv, e però che c'ecr. Ma da 

 c'ec b nc6" ed mebb" si trae che c'ec m ; giusta (£''™)P23, e visto che (b",b,c)~Gl 

 (però che il supporre e e bb" involgerebbe c' = c, conforme ad (£")P16). Dunque 

 m=c\c' (P7); dunque m = a (P15 § 1 e P5) : e però b" — 6 / = b' (P8, ecc.).] 



P25-2V. * Sempre che a, b, e siano punti, a diverso da b e da e, i giudizi " (a, c)-L(a,b) „ 



