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[a, b) x (a, e) , si equivalgono. „ — Gi< [azione ira due coppie di punti 



[a,b)e(a,c), significata in " j. „ sarà invertibile o commutativa [Così da 

 P19,20,24.j. 



P26-7V. " Dati ancora i punti non collineari a, b, e, poscia un punto b' nella con- 

 " giungente a con b e un punto e nella congiungente a con e — l'uno e l'altro 

 " diversi dal punto a — saranno eziandio equivalenti le propos. 1 : ■• (a,c)x{a,b) , 

 " e " («, e') -i- (a, b') ». „ [Veda il Lettore]. 



Fin qui la nozione di perpendicolarità volge intorno a due coppie di 

 punti, costituite in tre punti distinti e nulla pili. Ma non disconviene adottare 

 eziandio l'ortogonalità fra due rette incidenti, com'è nell'uso. 



P27-7)/'. " Due rette r, s che abbiano un punto in comune, sia p. es. a, si diranno 

 " perpendicolari, normali, od ortogonali fra loro „ — " >• -L s „ — se esiste un 

 " punto b di r e un punto e di s in maniera che (a, e) sia perpendicolare 

 " ad (a, b), ovvero (a, b) perpendicolare ad (a, e). Ved. P19, 25, 26. — Due 

 rette r, s così disposte (perpendicolari l'una sull'altra) sono al certo distinte 

 fra loro (P19, ecc.); e comunque si scelga un punto b' nell'una e un punto e' 

 nell'altra — purché diversi entrambi dal punto comune a — sarà sempre la 

 coppia (a,c') perpendicolare alla coppia (a, b'), siccome questa a quella (P25, 26, ecc.). 



P28-Tr. " Essendo r una retta ejiun punto esterno, si può sempre trovar su di essa 

 " un tal punto x, per cui si verifichi la relazione " px -l r „. „ Euclide, Lib. 1°, 

 Prp. XII a . — Cioè " per un punto dato fuor della retta r passa sempre una 

 retta s perpendicolare alla prima „. [In r si trovan per certo due punti distinti 

 a e b (P18 § 1), tali dunque che (a, b,p)~ GÌ. Se u denoti un ribaltamento del 

 piano abe su se stesso intorno ad a e è (Pll), il punto medio fra p e ]ip giacerà 

 sulla congiungente a con b (P18): di guisa che, detto x un tal punto medio, 

 sulla retta px giacerà il punto \xp. Per certo x non coincide ad un tempo 

 con a e con b; sia p. es. diverso da'è: allora (x, p) -l (x, b) (P19), e p. cons. xp xr 

 (P27).] 



P29-IV. " Ma in r non posspn coesister due punti distinti x ed y tali, che px e pij 

 " siano ambedue perpendicolari ad r. „ [Perché se coesistessero, la posizione 

 di $ dopo il ribaltamento del piano xtjp fatto intorno ad x, y sarebbe comune 

 alle rette px, py (P17, 19, 27); ecc.] 



PBO-Tr. " Dati i punti non collineari a,b,c; a ciò che la sfera a b e la retta «e non 

 " s'incontrino fuor che in abbisogna che questa retta ac sia perpendicolare alla 

 " congiungente a con b. Lo stesso accadrà, se la sfera a e non incontri ab in 

 " nessun punto diverso da a. „ Euclide, Lib. 3°, Prp. X vTLT a . — Cfr. P22. [Se ac 

 non è perpendicolare ad ab, su quest'ultima vi sarà un punto x non eguale ad a, 

 per il quale (x, a) jl (x, c) (P27, 28, ecc.): cosicché un altro punto di ab, vale a 

 dire il punto %> giacerà sulla sfera a c — come prescrive (J; C 6 ;°)P20 — senza 

 cadere in a: il che contraddice all'Hp. Ecc.]. — La presente e la P22 prese insieme 

 fanno il teorema: " affinché una retta ed una sfera passanti per un medesimo 

 punto si tocchino in questo — cioè non s'incontrino altrove — è necessario e 



