21 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 193 



basta che la retta sia perpendicolare alla congiimgente il centro della sfera con 

 quel punto „. 



P31-7V. " Ogni qualvolta siano vere ad un tempo le proposiz.' " a, b, e sono punti 

 " non collineari ; d è punto del piano abe, che non appartiene ad ab, né coincide 

 " con e; inoltre (a, e) J- (a, b), e (a, d) j. (a, b) „ ; sarà vero altresì che " i punti 

 " a, e, d collimano „ . , Qui abbiamo in somma la proprietà che si enuncia per solito : 

 " ad una retta data e da un punto dato in questa non si potranno elevare, nel 

 medesimo piano con questa, due diverse perpendicolari „ . [Posto b' = h j a , ne 

 inferiamo che b'eb c ^ b d (P20, 25) e che (e, d, b) — CI (P16). Se dunque ribalte- 

 remo il piano cdb su sé stesso intorno ai punti e e d come cardini, b cadrà 

 necessariamente in b' (P14); e il punto medio fra questi due b e V, cioè il punto 

 a (P7), dovrà star nella retta «Z(P1S). Dunque azed, e. v. d.] 



P32-T>\ " Premesso che a,b,c sono punti non collineari ; se si dà un moto p di tal 

 " fatta, che pa coincida con a, pb appartenga ad ab senza coincider con b, e pc 

 8 appartenga ad ac senza cadere in e, questo moto convertirà ciascun punto del 

 " piano abe nel simmetrico rispetto ad a. „ [In virtù di P4 l'Hp implica eziandio 

 p (p b) = b, p (p c)=c: sicché il moto p 2 terrà fermi individualmente i punti a, b, e ; 

 quindi fermo qualunque altro punto (Pll § 1). Ora un punto x di abe non può 

 esser tautologo in p, se è diverso dal punto a: perché il supporre xtabc,x~ = a, 

 px — x equivale a pretendere che (a, x, b) ~ CI , e che {a, b) _l (a, x), (a, e) j. (a,x) 

 (P19) — contro l'Hp (a, b, e) ~ CI (P31). Pertanto px~=x, e p[px)=x: dunque 

 il punto medio fra x e px è tautologo in p (P8, ecc.). Dunque esso coincide con a.'] 



P33-IV. " Qualunque volta i punti a, b, e non siano allineati fra loro ed (a, e) sia 

 8 perpendicolare ad (a, b), vi sarà un moto che a ciascun punto del piano abe 

 " coordina il punto simmetrico rispetto ad a. „ [Invero (Pll, ecc.) il prodotto vu 

 dei due ribaltamenti \i{$', c J a ) e v{iX'"c) terrà fermo a, mutando b e e nei punti '/a e c /a ; 

 sicché non resta che richiamarsi a P32.] 



P34-Tr. " Dall'ipotesi " a, b, e sono punti, a diverso da è e da e, (a, e) j. (a, b) (ovvero 

 " ac j. ab), e u sia un moto arbitrario „ nasce che anche le coppie di punti (\xa, \xc) 

 " e (uà, uè), al par delle rette (ua)(uc) e(ua)(uò), son perpendicolari fra loro. „ 

 — Cioè " nessun moto ha poter di alterare la relazione di ortogonalità fra 

 due rette. — [Veda il Lettore]. 



§ 3°. 



Ribaltamento di un piano sopra un altro. Ortogonalità fra 

 rette e piani. Proprietà diverse in ordine a rette, piani e sfere. 



POSTULATO XV . 



PI. Se a,b,c sono punti non collineari, esiste un punto almeno fuor del 

 piano abe. 



F2-Df. " Di quattro punti a,b,e,d si suol dire che " sono, o no, complanari „ 

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