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" — spesso abbreviando in " (a, b, e, d) Cp „, o '• (a, J, c,d) - Cp „ — secondo 

 " che esistono, oppur non esiston, tre punti non collineari x, //, z, il cui piano xxjz 

 " contenga gli a,b,c,d. „ — Dunque, se i punti e,f, <j non collimano, ciascuna delle 

 due propos. 1 " h è un punto del piano efy „, " i punti e,f,g,h son complani , 

 sarà conseguenza dell'altra. 



P8-2V. " Se a,b,c,d sono punti non complanari, saranno eziandio tre per tre non 

 " collineari ; oltre che tutti e quattro distinti, e ciascuno esterno al piano che 

 " unisce i tre rimanenti. „ Cfr. PIO, 14 § 1. 



POSTULATO XVI». 



P4. Essendo a, b, e, d punti non complanari, deve esistere un moto che, rispec- 

 chiando in sé stesso tanto a quanto b. rappresenti d con un punto del 

 piano abc. — Un moto di questa sorta farà che il piano abd si trasformi total- 

 mente nel piano abc (P22, 24 § 1): onde si dice che " abd si ribalta sopra abc, 

 volgendosi intorno a e b „ , ecc. (*). 



P5-IV. " Dati i punti non collineari a, b, e, vi sarà un moto che trasferisce a su b, 

 " b in un punto di ab non coincidente con a, e e di nuovo in un punto del 

 " piano abc. „ — Sicché " un piano può strisciar su se stesso, in maniera che 

 una sua retta prescelta ad arbitrio scorra del pari in se stessa „ . Ved. P9 § 2. 

 [Per certo esisterà un moto che rappresenti a su b, b in qualche punto di ab non 

 coincidente con a(P9§2): sia e' l'immagine di e. Se e' tabe, non occorre altro. 

 Se al contrario i punti a, b, e, e' non son complanari, basterà far seguire a quel 

 moto un ribaltamento del piano abc' sul piano abc, conforme a P4, e rispetto 

 ad a e è come cardini.] 



P6-7V. " Dati ancora i punti non collineari a, b, e, sempre esiste nel piano abc qualche 

 " punto e', per cui la coppia (a, e') sia normale ad (a, b). „ — 0, sotto altra 

 veste: " dati un piano, in questo piano una retta e in questa retta un punto 

 — come abc, ab, a — -si può sempre in quel piano e per questo punto innalzare 

 una retta perpendicolare alla data „ Euclide, Lib. 1°, Prp. XI a . — Che non si 

 possan condurre due diverse perpendicolari ad ab come sopra, è già detto in 

 P31 §2. [Sia p. es. x il piede della perpendicolare abbassata da e sulla ab 

 (P28 § 2). Se x non coincide con a, basta applicare il piano axb su se stesso in 

 maniera, che il punto x venga in a, e la retta ab torni sopra di se — come 

 sempre è possibile in virtù, di P5 — e poi richiamarsi a P34§2.] 



Vl-Df. " Due punti b e e son per dirsi " equidistanti da un terzo punto a „ — 

 " o questo " egualmente distante „ da quelli — ogni volta che i punti b e e 

 " stanno insieme sopra una sfera descritta intorno ad a come centro. „ Ved. P28§1. 



(*) Come ognun vede, i due pati.* XIII e XVI" si potrebber, volendo, amalgamare in un solo. 

 E cosi, facendo apparir con leggera modificazione circa il dettato di quel princ. XIII , che il moto 

 onde si parla trasformi in sé stesso tutto il piano abc, si potrebbe eziandio risparmiare il postul. IX : 

 dissimulandolo sotto un principio che afferma la possibilità di ribaltare un piano sopra se stesso. 

 Da consimili rimaneggiamenti (né da soppressione o sostituzione di alcuni princ' con altri, ecc.) non 

 ripugna affatto il presente sistema ; molto più se dovesse piegarsi ad esigenze didattiche. 



